Explications étape par étape:
Bonsoir, comme tu l'as décrit, il faut commencer par lister les possibilités.
Ici, on raisonne par récurrence, et on note Pn, l'événement "a(n+1) = 0,5 x an + 0,3".
Prouvons déjà l'initialisation :
Pour a1, on ignore sa valeur, on pourrait se dire logiquement qu'il y aurait 1 chance sur 2.
Pour a2, une fois l'événement A1 réalisé, si la 1re partie était de type A, alors la probabilité que la 2e le soit aussi, donc p(A2 sachant A1) = a1 x 0,8 d'après l'énoncé.
De même, p(A2 sachant B1) = b1 x 0,3.
On peut donc affirmer à cette étape, que P(A2) = a1 x P(A2 sachant A1) + b1 x P(A2 sachant B1) = a1 x 0,8 + b1 x 0,3.
Or, b1 = 1 - a1, donc a1 x 0,8 + b1 x 0,3 = 0,8 x a1 + 0,3 - a1 x 0,3 = 0,5 x a1 + 0,3.
P2 est donc vérifiée (le cas n = 2), indépendamment de la valeur de a1.
Ensuite on s'occupe de l'hérédité, soit k un entier naturel fixé supérieur ou égal à 1, on suppose Pk vraie, montrons alors P(k+1) :
À l'événement P(k+1), si la partie précédente Pk était du type A, alors P(K+1 sachant AK) = ak x 0,8.
De même, si elle était de type B, on aurait :
P(K+1 sachant BK) = bk x 0,3 = (1 - ak) x 0,3 = 0,3 - 0,3 x ak.
Par somme, identiquement à l'initialisation, on a :
P(A(k+1)) = ak x P(K+1 sachant AK) + (1 - 0,3 x ak) x P(K+1 sachant BK) = ak x 0,5 + 0,3.
Or, par hypothèse de récurrence, a(k+1) = 0,5 x ak + 0,3, l'expression précédente vaut donc a(k+1).
P(k+1) est vraie.
Conclusion : La propriété Pn est vraie pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1.
Bonne soirée
