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Explications étape par étape:
Bonsoir, on considère un triangle ABC isocèle en B. On aura AB = BC, et la base sera AC.
Ici, il faut bien comprendre qu'on ignore à quelle position exacte se trouve le point. On sait juste qu'il est sur la base, et equidistant des milieux des côtés AB et BC.
Soit J, le milieu de AB, K le milieu de BC, et L le milieu de AC.
Soit E, le point equidistant recherché sur la base, il nous faut donc trouver E, tel que EJ = EK.
Il est évident que [AC] est parallèle à [JK], on trace le segment [JK].
La hauteur issue de B coupe AC en deux côtés de même longueur car ABC est isocèle. Puisqu'elle coupe AC, elle passe aussi par JK.
Or, comme ABC est isocèle en B, ce triangle est particulier, la mediatrice de la base AC est confondue avec la hauteur issue de B.
Par conséquent, cette mediatrice coupe aussi JK.
Par définition, trouver la mediatrice du segment [JK], c'est chercher un point M equidistant de J et K, tel que JM = MK. Or, la hauteur passe par le milieu de [AC] (definition d'une hauteur) qui est confondue avec la mediatrice de [AC] passant par [JK].
Le point E recherché peut donc se situer à la mediatrice de [AC], qui correspond à la hauteur issue de B qui passe par le milieu de [AC].
Il se situe donc bien au milieu de la base [AC].
Désolé, je n'avais pas de papier sous la main, si tu dessines, ça te paraîtra beaucoup plus évident.
Bonne soirée
Réponse :
Explications étape par étape :
Soit un triangle ABC isocèle en A, nous avons donc AB=AC
Soit i milieu de [AB] et J milieu de [BC], on a donc
IA = IB et JC = JB
De plus la droite (IJ) est la droite des milieux et d'après la propriété de la droite des milieux, on sait la droite (J) est parallèle à la droite (BC)
mais comme AB = BC , on a IA = IB =JC = JB
Soit le point D de la base [BC] tel que JD= ID
On a donc le quadrilatère AIDJ formé dans le triangle ABC
Le quadrilatère AIDJ est un losange car il a deux cotés consécutifs égaux, ici IA = AJ
de part les propriétés d'un losange , on sait que ses diagonales se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires entre elles
donc les diagonales de AIDJ qui sont [AD] et [IJ] sont perpendiculaires entre elles.
Or on sait que la droite (IJ) est parallèle à la droite (BC)
et d'apres la propriété suivante qui précise que si deux droites sont parallèles, alors toute droite perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre.
alors comme la droite (AD) est perpendiculaire à la droite (IJ) et que la droite (IJ) est parallèle à (BC) alors on a
la droite (BC) qui est perpendiculaire (AD)
ainsi la droite dans le triangle (AD) passe par le sommet A et est perpendiculaire a la base du triangle ABC isocèle en A et dont les points sont équidistants des extrémités car IA = IB =JC = JB
c'est donc la médiatrice du triangle isocèle ABC
L'une des propriétés du triangle isocèle est que la médiatrice est aussi la médiane de même triangle
ainsi la droite (AD) passe par le milieu D du triangle isocèle ABC en A
et donc le point D est bien le milieu de la base du triangle
J'espère t'avoir aidé
