Salut lluna123 ! Je vais essayer de t'expliquer ça simplement. Avant de commencer, je pense qu'il y a une erreur dans ton énoncé partie 1, ou l'équation à démontrer est a mon avis [tex]\frac{1}{x} + \frac{3}{x-1} = \frac{4x-1}{x(x-1)}[/tex].
Question 1 :
Pour la question 1, tu as deux solutions pour démontrer cette égalité : soit tu fais l'addition du membre de gauche, soit tu sépares en deux termes le membre de droite. On va aller au plus simple, et on va effectuer l'addition du membre de gauche.
Donc commençons,
- Pour effectuer une addition de fraction, il faut que les 2 fractions aient le même dénominateur. Ici, pour avoir le même dénominateur sur les deux fractions il faut que tu multiplies le dénominateur et le numérateur de la première fraction par le dénominateur de la deuxième, et que tu multiplies le dénominateur et le numérateur de la deuxième fraction par le dénominateur de la première.
En gros, tu as [tex]\frac{1(x-1)}{x(x-1)} + \frac{3x}{x(x+1)}[/tex]
- Ensuite, tu peux donc regrouper l'addition sur un même dénominateur :
[tex]\frac{1(x-1)+3x}{x(x-1)}[/tex]
- Tu peux ensuite réduire le numérateur en effectuant la distributivité et en additionnant ce qu'il faut, afin d'obtenir
[tex]\frac{4x-1}{x^{2} -x}[/tex]
Or ici, on a le bon numérateur, mais pas le bon dénominateur car il faut avoir x(x-1) au dénominateur. Or si tu regardes bien, tu peux arriver a x(x-1) a partir de x²-x en factorisant le dénominateur, en mettant x en facteur commun comme ceci : [tex]x(x-1)[/tex]
Donc a la fin, tu as [tex]\frac{4x-1}{x(x-1)}[/tex] ce qui montre bien que [tex]\frac{1}{x} + \frac{3}{x-1} = \frac{4x-1}{x(x-1)}[/tex].
Question 2 :
Dans la question 2, on te demande de déduire l'équation suivante [tex]\frac{1}{x} + \frac{3}{x-1} \geq 0[/tex].
Pour ce faire, on va se simplifier la tache, on va prendre la simplification qu'on a trouver avant pour étudier l'inéquation. Donc on va avoir [tex]\frac{4x-1}{x(x-1)} \geq 0[/tex].
Déjà, comme tu as un quotient, il y a une valeur interdite, qui est celle qui va annuler le dénominateur (car on ne peut pas diviser par 0). Cette valeur interdite est donc la solution de l'équation [tex]x(x-1) = 0[/tex] . Comme tu as un produit de facteur, il faut que tu ressortes ta propriété a absolument connaitre : Un produit de facteur est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul.
Donc tu as comme solution soit [tex]x = 0[/tex] ou [tex]x-1=0[/tex] ↔ [tex]x = 1[/tex]
Tu as donc 2 valeurs interdites : 0 et 1.
Pour connaitre l'intervalle de solutions, tu dois étudier le signe d'une fonction f définie par [tex]f(x) =\frac{4x-1}{x(x-1)}[/tex].
Tu sais que f peut aussi s'écrire [tex]f(x) =\frac{4x-1}{x^{2} -x}[/tex] , et que comme ton dénominateur contient un carré et un x simple, tu sais que [tex]x^2 > x[/tex] donc que ton dénominateur est positif a l'extérieur des racines et négatif entre. Les racines du dénominateur étant x = 0 et x = 1 (facilement vérifiable avec la factorisation), tu as comme signe + - +.
Ton numérateur est de la forme mx+p, donc de fonction affine, avec m > 0 donc tu sais que ton numérateur est négatif avant la valeur de x qui annule le numérateur, et positif après la valeur qui annule.
Du coup, on calcule cette valeur
[tex]4x + 1=0[/tex] ↔[tex]x= 0.25[/tex]
On en déduit donc via un tableau de signe (que je te joins en pièce jointe) que S = [-0.25; + inf[.
J'espère avoir pu t'aider !
