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Sagot :
Réponse :
bonsoir Pour un élève de terminale, la partie A n'est pas nécessaire pour traiter la partie B.
partie A Il suffit de faire la division euclidienne pour déterminer les coef a, b, c et noter que le terme ax²+bx +c=0 n'a pas de solution. donc P(x)=0 a une solution unique x=1
Explications étape par étape :
Partie B
g(x)=x³-x+1-2lnx sur ]0;+oo[
1) limites
a) si x tend vers 0+, g(x) tend vers +oo (limite de -2lnx)
b) si x tend vers +oo, g(x) g(x) tend vers +oo (limite de x³ ; croissances comparées)
2a) dérivée g'(x)=3x²-1-2/x
étudions le signe de cette dérivée sans passer par P(x)
étude de g'(x) sur ]0;+oo[
Limites
si x tend vers0+, g'(x) tend vers -oo (limite de -2/x)
si x tend vers +oo, g'(x) tend vers+oo
Dérivée g"(x)=6x+2/x²=(6x³+2)/x²
on constate que cette dérivée est toujours >0
Tableau de signes de g"(x) et de variations de g(x)
x 0 +oo
g"'(x) +
g'(x) -oo Croi +oo
D'après le TVI g'(x)=0 admet une et une seule solution (solution évidente x=1)
Tableau de signes de g'(x) et de variations de g(x)
x 0 1 +oo
g'(x). - 0 +
g(x)+oo ......D.........g(1).........C..............+oo
3) g(1)=1 ceci est la valeur minimale de g(x) donc g(x)>0
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