Explications étape par étape:
Bonsoir, plusieurs possibilités de résolution pour ton exercice. Pour factoriser, il te faut déterminer une racine évidente, puis procéder par identification. Il s'agit de la méthode classique et fortement recommandée, après, tu peux aussi transformer l'expression, en essayant, par le biais d'opérations élémentaires, de faire apparaître un facteur commun.
Déjà, tout polynôme de degré impair admet au moins 1 racine, donc ils sont forcément factorisables. Ceci étant dit, étudions R(x). Il y a une astuce pour s'en sortir sans identification :
R(x) = x^3 + 6x^2 + 12x + 9
= x * [x^2 + 6x + 12] + 9
= x * [(x+3)^2 + 3] + 9
= x * (x+3)^2 + 3x + 9
= x * (x+3)^2 + 3*(x+3)
= (x+3) * [x(x+3) + 3]
= (x+3) * [x^2 + 3x + 3]
Comme le discriminant de x^2 + 3x + 3 est négatif, R est à présent factorisé dans R[X].
Tu peux aussi constater que cette technique a permis d'exhiber -3 comme racine, sans la chercher, sans calculatrice.
Pour S(x), c'est beaucoup plus compliqué. Il faut tester d'innombrables opérations, et prier pour tomber sur la bonne !
S(x) = x^3 + 9x^2 + 16x + 14
= (x+2)^3 + 3x^2 + 4x + 6
= (x+2)^3 + 3x^2 + 6x - 2x + 6
= (x+2)^3 + 3x*(x+2) - 2x + 6
= (x+2) * [(x+2)^2 + 3x] - 2x + 6
= (x+2) * [x^2 + 4x + 4 + 3x] - 2x + 6
= (x+2) * [x^2 + 7x + 4] - 2x + 6
= (x+2) * [x^2 + 7x] + 4*(x+2) - 2x + 6
= x*(x+2)*(x+7) + 2x + 14
= x*(x+2)*(x+7) + 2*(x+7)
= (x+7) * [x*(x+2) + 2]
= (x+7) * [x^2 + 2x + 2].
Le discriminant de x^2 + 2x + 2 est négatif, ainsi, S est factorisé dans R[X].
Tu peux voir que -7 était racine, imagine toi trouver cette racine évidente, tu abandonnes rapidement.
Conclusion : 2 méthodes, racine évidente puis identification. On cherche cette racine avec un tableur de calculatrice (encore faut-il trouver la racine), et on trouve le 2e polynôme, à factoriser parfois ou non.
Ou alors, tu tentes la méthode astucieuse, au choix, selon tes envies et ta volonté.
Bonne soirée à toi
PS : Si tu y es parvenu rapidement sans calculatrice, tu as mon respect, j'y ai mis 2h, tu me diras en quelle classe tu es.
