Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape :
Tu n'es pas revenu sur le site . Donc il est possible que je te réponde pour rien.
a)
On sait que :
scalaire AF.AC=||AF||.||AC|| x cos FAC
b)
Pythagore dans ABF rectangle en B :
AF²=AB²+BF²
AF²=1²+(1/2)²
AF²=5/4
Mesure AF=(√5)/2
Pythagore dans ADC rectangle en D :
AC²=1²+1²
AC²=2
Mesure AC=√2
Donc :
scalaire AF.AC=(√5)/2 x √2 x cos FAC
AF.AC=(√10)/2 x cos FAC
2)
a)
AF.AC=(AB+BF).AC
AF.AC=AB.AC+BF.AC
B est le projeté de C sur (AB) donc :
AB.AC=AC²=1
B est le projeté de A sur (BC) donc :
BF.AC=(1/2)(1)=1/2
Donc :
AF.AC=1+1/2
AF.AC=3/2
b)
Donc :
(√10)/2 x cos FAC=3/2
cos FAC= 3/√10
c)La calculatrice donne :
^FAC≈ 18.4°
3)
a)
AF.DE=(AB+BF)(DA+AE)
AF.DE=AB.DA+AB.AE+BF.DA+BF.AE
(AB) ⊥ (DA) donc AB.DA=0
AB.AE=(1)(1/2)==1/2
Les vecteurs BF et DA sont colinéaires mais de sens contraire donc :
BF.DA=-(1)(1/2)=-1/2
(BF) ⊥ (AE) donc : BF.AE=0
Donc :
AF.DE=0 + 1/2 -1/2 + 0
AF.DE=0
Ce qui prouve que :
(AF) ⊥ (DE)
b)
Calcul de DE.DA :
A est le projeté de E sur (DA) donc :
DE.DA=DA²
DE.DA=1
c)
Mais :
DE.DA=DE.(DK+KA)
DE.DA=DE.DK+DE.KA
Mais :
(DE) ⊥ (KA) donc DE.KA=0
Donc :
DE.DA=DE.DK
Donc :
DE.DK=1
Pythagore dans DAE rectangle en A :
DE²=1²+(1/2)²
DE²=5/4
DE=(√5)/2
Par ailleurs les vecteurs DE et DK sont colinéaires . Donc on peut écrire :
(√5)/2 x ||DK|| =1
Mesure DK=2/√5
qui peut s'écrire en multipliant haut et bas par √5 :
Mesure DK=(2√5)/5
