Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape :
2)
a)
g'(x)=2/x - 1/x²
g '(x)=(2x-1)/x²
Donc g '(x) est du signe de 2x-1.
2x-1 > 0 ==> x > 1/2
Variation :
x----->0.......................1/2....................+∞
g '(x)-->..........-............0............+.............
g(x)--->||.........D.........g(1/2)......C..........
g(1/2)=2ln(1/2)-1+2=2n(1/2)+1
g(1/2)=2[ln(1)-ln(2) ]+1
g(1/2)=1-2ln(2) ≈ -0.386
b)
Ce tableau prouve que g(x) passe par un minimum égal à 1-2ln2 pour x=1/2.
3)
Sur ]0;1/2] , g(x) tend vers +∞ quand x tend vers +∞ puis passe à une valeur négative pour x=1/2. Donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires (TVI) il existe un unique réel α sur cet intervalle tel que g(α)=0.
Sur [1/2;+∞[ , g(x) passe d'une valeur négative à une limite égale à +∞ quand x tend vers +∞. Donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires (TVI) il existe un unique réel β sur cet intervalle tel que g(β)=0.
4)
x--------->0....................α................β.....................+∞
g(x)------>...........+.........0........-.......0.........+.............
B)
5)
Donc :
f(x)=x²*ln(x)-x²+x
La fonction puissance impose sa limite par rapport à la fonction ln(x).
Quand x tend vers zéro :
On trouve une démonstration très longue avec changement de variable sur Internet en posant x=1/X.
sinon tu écris : la fonction puissance de x impose sa limite par rapport à la fonction ln(x).
lim f(x)=0 -0+0=0
lim f(x) quand x tend vers +∞ :
f(x)=x²(ln(x)-1)+x
lim f(x)= (+∞)*(+∞)+∞=+∞
6)
f(α)=α²(ln(α)-1)+α
Mais g(α)=0 , ce qui donne :
2*ln(α)-1+1/α=0 soit :
2*ln(α)=1 - 1/α
ln(α)=1/2 -1/(2α) que l'on reporte dans f(α) :
f(α)=α²(1/2 - 1/(2α) - 1 ) +α
f(α)=α²/2 - α/2 -α² + α
f(α)=α²/2 - α/2 -2α²/2 + 2α/2
f(α)=α/2 - a²/2
f(α)=(α/2)(1-α)
7)
x²(lnx-1) est de la forme u*v avec :
u=x² donc u'=2x
v=ln(x)-1 donc v'=1/x
u'v+uv'=2x(ln(x)-1) + x²/x=2x*ln(x)-2x+x=2x*ln(x)-x
Donc :
f '(x)=2x*ln(x)-x+1
Mais g(x)=2*ln(x)-1+1/x qui donne :
x*g(x)=x(2*ln(x)-1+1/x)
x*g(x)=2x*ln(x)-x+1
Donc :
f '(x)=x*g(x)
8)
On peut continuer et faire le tableau de variation de f(x) .
Sur ]0;+∞[ f '(x) est donc du signe de g(x) vu à la question 4).
x-------->0...................α................β..................+∞
f '(x)---->...........+........0.........-.......0..........+............
f (x)----->..........C........f(α)....D......f(β)......C........
C=flèche qui monte et D=flèche qui descend.
Voir graphiques non demandés .
Cg en noir et Cf en rouge.
