Bonsoir, j'ai eu quelques difficulté à résoudre la question 1B dans l'exercice présent. J'aurais vraiment besoins d'aide, car cette question est cruciale pour le reste de l'exercice. Je vous remercie encore d'avance quant à votre réponse, je galère depuis près de 4 heures, assez long pour une simple question... Merci beaucoup ;)

Exercice 2 : Sécurité routière

Lors d’une soirée, Arthur a bu à jeun une certaine quantité d’alcool. On s’intéresse à son taux d’alcool dans le sang, exprimé en g.L-1, en fonction du temps t, exprimé en heures.

Comme il faut un certain temps pour que le corps absorbe l’alcool, on peut modéliser son taux d’alcool par une fonction f définie sur [0,05; +[.

On admet que f est solution de l’équation différentielle (E) : y' = -y + ke(-t), où k est une constante positive qui dépend de la quantité d’alcool absorbée et de la corpulence de l’individu.

1) a) Exprimer, en fonction de k, le nombre réel a tel que la fonction g définie sur [0 ; +∞[ par g(t) = ate(-t) soit une solution particulière de (E).

b) En déduire l’expression de f(t) en fonction de k.

2) Etudier le sens de variation de la fonction f et vérifier qu’il ne dépend pas de k.

3) Au bout de 3 heures, Arthur teste son alcoolémie et obtient un taux égal à 0,8 g.L-1.
Sachant que Arthur est un jeune conducteur et que, selon la loi française, le taux maximal autorisé pour les jeunes conducteurs est de 0,2 g.L-1, combien de temps devra-t-il encore patienter pour pouvoir prendre le volant et rentrer chez lui ? On donnera un résultat à la minute près, on pourra utiliser la méthode par balayage pour trouver une valeur approchée du résultat.