Explications étape par étape:
Bonsoir, ton exercice est très classique, il risque de revenir souvent.
1- L'axe des abscisses représente la droite horizontale d'équation y = 0. Ainsi, il faut donc étudier pour quelles valeurs de x, f(x) = (x-1)(6-x) = 0.
Ceci équivaut à x = 1 ou x = 6.
2a- Ici, on développe, f(x) = (x-1)(6-x) = 6x - x^2 - 6 + x = - x^2 + 7x - 6.
b- La dérivée de x^2 vaut 2x, celle de 7x vaut 7, celle de 6 vaut 0. Par somme, on déduit que :
f'(x) = - 2x + 7.
c- f'(x) >=0 équivaut à -2x + 7 >= 0, d'où 2x <= 7, puis x <= 7/2.
De même, f'(x) <= 0 équivaut à 2x >= 7, d'où x >= 7/2.
Ainsi, f est croissante sur ]-infini ; 7/2], puis décroissante sur [7/2 ; +infini[.
d- Par les variations précédentes, il n'y a qu'un seul et unique maximum pour f, atteint en x = 7/2. Ce maximum vaut f(7/2) = (7/2 - 1)(6 - 7/2) = (5/2)*(5/2) = 25/4.
