Bonsoir,
a) Ici, il te faut décomposer subtilement :
8^30 = (2^3)^30 = 2^90. Or, 2^5 = 32 = 1[31], et 90 = 18 x 5.
Ainsi, 2^90 = (2^5)^18 = (1^18)[31] = 1[31]. Le petit théorème de Fermat n'est pas nécessaire ici.
b) Question très difficile, notamment pour la solution particulière. En soi, l'équation est très facile à résoudre, une complication inutile.
On commence par transformer l'équation initiale modulo 31, 31y devient 0, il reste donc 8x = 25 modulo 31.
On multiplie par 8^29 de chaque côté, on obtient 8^30 * x = (8x3 + 1)*8^29 = 3x8^30 + 8^29.
Modulo 31, on aura donc x = 3 + 8^29 car 8^30 = 1[31].
Or, 8^29 = (2^3)^29 = 2^87. Or, 87 = 17x5 + 2, donc 2^87 = 2^(17x5 + 2) = (2^5)^17 x 2^2 = 1 x 4[31] = 4[31].
Conclusion, x0 = 3 + 4 = 7 en solution particulière.
On aurait pu aller beaucoup plus vite pour obtenir cette solution sans passer par 8^30...
On introduit x0 dans l'équation initiale pour trouver y0 : 56 - 31y0 = 25, d'où 31y0 = 31, et y0 = 1. Ainsi, une solution particulière sera (x0 ; y0) = (7 ; 1).
Résolvons l'équation diophantienne : Soit x et y, couple d'entiers relatifs, x0 et y0, solutions particulières. On peut écrire que :
8x - 31y = 25
8x0 - 31y0 = 25.
On soustrait : 8(x-x0) - 31(y - y0) = 0, d'où 8(x-x0) = 31(y-y0).
8 divise donc 31(y-y0). Or, 8 et 31 sont premiers entre eux, donc par le théorème de Gauss, 8 divise y-y0 = y-1.
Il existe donc un entier relatif k, tel que y-1 = 8k, donc y = 8k+1.
On intègre cette expression dans l'égalité du dessus :
8(x-x0) = 31(8k + 1 - 1) = 31 x 8k.
Par conséquent, x-x0 = 31k d'où x = 7 + 31k.
S = {7+31k ; 8k+1 | k € Z}.
Pour rigoler un peu, en raisonnant modulo 31, on obtient 8x = 25[31]. On multiplie par 4, ce qui donne 32x = 31x + x = 100 = 7[31], d'où x = 7[31].
On vérifie : 8x7 = 56 = 25[31].
Conclusion : x = 31k + 7.
Ensuite : 8(31k + 7) - 31y = 25, donc 248k + 56 - 31y = 25, ce qui équivaut à 31y = 248k + 31 = 31(8k+1), donc y = 8k + 1.
On retrouve les mêmes solutions, sans se fatiguer, ton exercice est fastidieux !
Bonne soirée
