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Réponse:
f(x) = x³-3x+1
f'(x)=3x²-3
la tangente a pour equation
y = f'(½)(x-½) + f(½)
f(1/2) = -3/8
f'(1/2) = -9/4
ainsi
y = -9/4(x-½) - 3/8
y = (-9/4)x + 3/4
2)
f(x) - (-9/4 x +3/4 ) = x³ - 3x +1 + 9/4 x - 3/4
f(x) - (-9/4 x +3/4 ) = x³ - 3/4 x + 1/4
developpons :
(x+1)(ax²+bx+x) = ax³ + bx² + cx + ax² + bx + c
= ax³ + (a+b)x² + (b+c)x + c
par comparaison on a :
a = 1
a+b = 0
b+c = -3/4
c = 1/4
on en deduit
a=1
b=-1
c=1/4
f(x) - (-9/4 x +3/4 ) = (x+1)(x²-x+¼)
3) Etudions le signe de f(x) - (-9/4 x +3/4 )
on peut remarquer que x²-x+¼ = (x-½)²
f(x) - (-9/4 x +3/4 ) = (x+1)(x-½)²
(x-½)² ≥ 0 pour tout x reel
(x+1) ≥ 0 pour x ≥ -1
ainsi
f(x) - (-9/4 x +3/4 ) ≤ 0 sur ]-∞; -1[
Cf est en dessous de T sur ]-∞; -1[
f(x) - (-9/4 x +3/4 ) ≥ 0 sur [-1; +∞[
Cf est au dessus de T sur [-1; +∞[
