Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape :
c)
On veut montrer que la fonction f(x)=-(x+3/2)²+49/4 est croissante sur ]-∞;-3/2].
Soient :
a < b ≤ -3/2
a+3/2 < b+3/2 ≤ -3/2+3/2
a+3/2 < b+3/2 ≤ 0
Sur ]-∞;0] la fonction carrée est décroissante , donc sur cet intervalle :
A < B ≤ 0 ==> A² > B² , ce qui donne pour notre fonction :
(a+3/2)² > (b+3/2)²
On va multiplier les 2 membre par "-1 ", ce qui oblige à changer > en < :
-(a+3/2)² < (b+3/2)²
Ajouter 49/4 ne change rien à l'inéquation :
-(a+3/2)² +49/4 < (b+3/2)² +49/4 soit :
f(a) < f(b)
Sur ]-∞;3/2], on est parti de a < b pour arriver à f(a) < f(b) , ce qui prouve que la fonction f(x) est strictement croissante sur cet intervalle.
d)
f(x)=-(x+3/2)²+49/4
f(x)-49/4=-(x+3/2)²
(x+3/2)² est toujours positif car c'est un carré ( ou est nul pour x=-3/2).
Donc :
-(x+3/2)² est toujours négatif ( ou est nul pour x=-3/2).
Donc :
f(x)-49/4 ≤ 0 ( et vaut zéro pour x=-3/2)
Donc :
f(x) ≤ 49/4 ( et vaut 49/4 pour x=-3/2)
Ce qui prouve que f(x) passe par un max qui est 49/4 obtenu pour x=-3/2.
