Explications étape par étape:
Bonsoir
1- Il te faut connaître la dérivée d'une fonction composée, par l'exponentielle. Grosso modo, exp(u)' = u' exp(u).
On obtiendra donc, par opérations élémentaires sur les dérivées :
f'(x) = ab exp(bx) (la dérivée de c vaut 0, puisqu'il s'agit d'une constante).
2- Pour ce genre de questions, commencer par poser les bases, déterminer ce qui découle de chaque condition énoncée.
f(0) = 7 fournit a + c = 7.
f'(0) = -0,9 fournit ab = -0.9.
2 équations à 3 inconnues, il y aura donc une infinité de solutions, sous une forme à déterminer.
a + c = 7, d'où a = 7-c
b = -0,9 / (7-c).
Ainsi, l'ensemble des solutions sera a = 7-c, b = -0,9 / (7-c), avec c réel different de 7.
Si c = 7, alors a = 0, b € R, et c = 7.
3- Propriété du cours, en x = 0, l'équation de la tangente sera y = f'(0)(x-0) + f(0) = -0,9x + 7 (je te laisse la tracer).
4- Suivant la configuration f(x) = 3 exp(-0,3x) + 4, tu as f'(x) = 3.(-0,3).exp(-0,3x) = -0,9.exp(-0,3x).
D'où f'(x) / 0,3 = -3.exp(-0,3x) = -f(x) + 4
Par somme :
f(x) + f'(x)/0,3 - 4 = f(x) - f(x) + 4 - 4 = 0.
5- Pour tout x réel, en vertu de l'égalité précédente, on a : f(x) - 4 = -f'(x)/0,3 = 3.exp(-0,3x).
Or, exp(-0,3x) > 0 pour toit reel x, donc f'(x) / 0,3 > 0 de facto.
Par somme, en ajoutant 4 des 2 côtés, on conçoit que f(x) > 4.
6- Soit x réel, f(x) >= 7 équivaut à 3 exp(-0,3x) + 4 >= 7, d'où 3 exp(-0,3x) >= 3, puis exp(-0,3x) >= 1.
exp(-0,3x)' = -0,3 exp(-0,3x), décroissante. L'ensemble des solutions sera donc l'intervalle ]-infini ; 0].
Bonne soirée
