Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape :
Exo 1 :
J'espère ne pas faire ce long travail pour rien !!
1)
Vecteur AB(-2-(-4);3-1) ==>AB(2;2)
AB²=2²+2²=8
AB=√8=√(4 x 2)=2√2
CD(3-(-1);2-(-2)==>CD(4;4)
CD²=4²+4²=32
CD=√32=√(16 x 2)=4√2
2)
1ère façon :
vect AD(3+4;2-1) ==>AD(7;1)
BC(-1+2;-2-3) ==>BC(1;-5)
det(AD,BC=7(-5)-1*1=-36 ≠ 0
Les vect AD et BC ne sont pas colinéaires donc (AD) et (BC) sont sécantes.
2ème façon :
Deux vecteurs u(x ;y) et v(x’ ;y’) sont colinéaires si et seulement si :
xy’-x’y=0
Ce qui donne ici :
7(-5)-1*1=-36 ≠ 0
Les vect AD et BC ne sont pas colinéaires donc (AD) et (BC) sont sécantes.
3)
En vecteurs :
AB(2;2)
AD(3-(-4);2-1) ==>AD(7;1)
Deux vecteurs u(x ;y) et v(x’ ;y’) sont colinéaires si et seulement si :
xy’-x’y=0
Ce qui donne ici :
2*1-2*7=2-14=-12 ≠ 0
Les vect AD et AB ne sont pas colinéaire donc les points A,B et D ne sont pas alignés.
4)
On a vu que :
AB(2;2) et CD(4;4).
Ce qui donne :
2AB(4;4) donc :
CD=2AB qui prouve que les vecteurs AB et CD sont colinéaires donc que:
(AB) // (CD).
5)
vect BC(1;-5)
(BC) a pour équation : y=ax+b avec :
a=-5/1=-5 ( obtenu à partir des coordonnées du vect BC)
(BC) ==>y=-5x+b
(BC) passe par B(-2;3) donc on peut écrire :
-5(-2)+b=3 qui donne b=3-10=-7
(BC) ==>y=-5x-7
6)
vect AD(7;1)
(AD) ==>y=ax+b avec :
a=1/7
(AD) ==>y=(1/7)x+b
Passe par D(3;2) donc on peut écrire :
(1/7)*3+b=2 qui donne : b=2-3/7=14/7-3/7=11/7
(AD) ==>y=(1/7)x+11/7
7)
On résout :
{y=-5x-7
{y=(1/7)x+11/7
Ce qui donne :
(1/7)x+11/7=-5x-7
(1/7)x+5x=-7-11/7
x/7 + 35x/7=-49/7-11/7
On supprime le déno 7 sous chaque terme :
36x=-60
x=-60/36
x=-5/3
y=-5(-5/3)-7=25/3-21/3=4/3
E(-5/3;4/3)
8)
vect EB(-2+5/3;3-4/3) ==>EB(-6/3+5/3;9/3-4/3) ===>EB(-1/3;5/3)
vect EC(-1+5/3;-2-4/3) ==>EC(-3/3+5/3;-6/3-4/3) ==> EC(2/3;-10/3)
Ce qui donne :
-(1/2)EC(-1/3;5/3) donc en vecteurs :
EB=(-1/2)EC qui prouve que ces deux vecteurs sont colinéaires.
On peut donc passer aux mesures :
Mesure EB=(1/2) mesure EC qui donne :
EB/EC=(1/2)
Voir graphique joint .
Exo 2 :
1)
En vecteurs :
AB(1-0;2-1) ==>AB(1;1)
AC(5-0;6-1) ==>AC(5;5)
5AB(5;5)
Donc :
AC=5AB qui prouve que les vecteurs AB et AC sont colinéaires avec A en commun donc que les points A, B et C sont alignés.
2)
En vect :
DE(6-2;1-0) ==>DE(4;1)
DF(10-2;2-0) ==>DF(8;2)
4DE(8;2)
Donc :
DF=4DE
Tu conclus.
3)
Tu dois avoir compris comment on calcule les coordonnées des vecteurs. Je ne te donne que les réponses.
AE(6;0)
DB(-1;2)
AF(10;1)
DC(3;6)
BF(9;0)
EC(-1;5)
4)
Deux vecteurs u(x ;y) et v(x’ ;y’) sont colinéaires si et seulement si :
xy’-x’y=0
On applique à vect AE et DB :
6*2-0*(-1)=12+1=13 ≠ 0
Ces 2 vect ne sont pas colinéaires donc (AE) et (DB) sont sécantes.
5)
AF(10;1)
DC(3;6)
10*6-1*3=60-3=57 ≠ 0
Tu conclus.
6)
BF(9;0)
EC(-1;5)
0*(-1)-9*5=-46 ≠ 0
Tu conclus.
7)
Les points A et E ont même ordonnée : y=1 donc :
(AE) ==>y=1
-----------
DB(-1;2)
(DB) ==>y=ax+b avec a=2/-1=-2
y=-2x+b et passe par D(2;0) donc :
-2*2+b=0 soit b=4
(DB) ==>y=-2x+4
---------
AF(10;1)
(AF) ==>y=ax+b avec a=1/10
Passe par A(0;1) donc b=1.
(AF) ==>y=(1/10)x+1
-----------
DC(3;6)
(DC) ==>y=ax+b avec a=6/3=2
y=2x+b , passe par D(2;0) donc :
2*2+b=0 soit b=-4
(DC) ===>y=2x-4
-----------
BF(9;0)
Les points B et F ont même ordonnée 2 donc :
(BF) ===>y=2
------------
EC(-1;5)
(EC) ==>y=ax+b avec a=5/-1=-5
y=-5x+b et passe par E(6;1) donc :
-5*6+b=1 soit b=31
(EC) ==>y=-5x+31
8)
Pour G :
{y=1
{y=-2x+4
-2x+4=1 soit x=3/2 et y=1
G(3/2;1)
Pour H :
{y=(1/10)x+1
{y=2x-4
2x-4=(1/10)x+1
20x/10-x/10=4+1
19x/10=5
x=50/19 et y=2(50/19)-4=(100-4*19)/19=24/19
H(50/19;24/19)
Pour I :
{y=2
{y=-5x+31
-5x+31=2
x=29/5
I(29/5;2)
9)
Là, c'est un truc de "fou"!!
Je te laisse finir et calculer les coordonnées des vecteurs GH et GI puis appliquer :
Deux vecteurs u(x ;y) et v(x’ ;y’) sont colinéaires si et seulement si :
xy’-x’y=0
J'ai passé un temps fou à faire dix fois le même type de calculs . Franchement pas drôle ce DM.
