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bjr
d est la droite d’équation : 5x − 27y = 1
« premier point » à coordonnées entières positives (11 ; 2)
1)
• puisque (11 ; 2) est une solution
5x - 27y = 5*11 - 27*2
5x - 5*11 = 27y - 27*2
5(x - 11) = 27(y - 2)
• 5 divise le premier membre, il divise donc le second.
5 divise le produit 27(y - 2), comme il est premier avec 27
c'est un diviseur de y - 2
=> y - 2 = 5k
y = 2 + 5k
• de même 27 est un diviseur de x - 11
=> x - 11 = 27k'
x = 11 + 27k'
tout couple solution est de la forme : (11 + 27k' ; 2 + 5k) k et k' entiers
2)
réciproque
si y - 2 = 5k et x - 11 = 27k'
alors en remplaçant dans
5(x - 11) = 27(y - 2)
5*27k' = 27*5k
k = k'
les solutions de l'équation sont de la forme (11 + 27k ; 2 + 5k)
3)
on cherche les couples d'entiers positifs
k = 0 1er point (11 ; 2)
k = 1 2e point (11 + 27 ; 2 + 5) soit (38 ; 7)
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
k = 2020 2021e point : (54 551 ; 10 102)
coordonnées : 11 + 27*2020 = 54 551
2 + 5*2020 = 10 102
