Je ne montre pas la dérivabilité de la fonction, je te laisse faire.
Dérivée de [tex]x[/tex] : 1.
Dérivée de -1 : 0.
De plus :
[tex]ln \left( \dfrac{x-2}{x+2} \right) = ln(x-2) - ln(x+2)[/tex]
Donc :
[tex]\left( ln \left( \dfrac{x-2}{x+2} \right) \right)' = (ln(x-2) - ln(x+2))'\\\left( ln \left( \dfrac{x-2}{x+2} \right) \right)' = (ln(x-2))' - (ln(x+2))'\\\left( ln \left( \dfrac{x-2}{x+2} \right) \right)' = \dfrac{1}{x-2} - \dfrac{1}{x+2}\\\left( ln \left( \dfrac{x-2}{x+2} \right) \right)' = \dfrac{x+2}{(x-2)(x+2)} - \dfrac{x-2}{(x+2)(x-2)}\\\left( ln \left( \dfrac{x-2}{x+2} \right) \right)' = \dfrac{x+2-(x-2)}{x^2-4}\\\left( ln \left( \dfrac{x-2}{x+2} \right) \right)' = \dfrac{4}{x^2-4}[/tex]
La dérivée de [tex]f[/tex] vaut alors :
[tex]f'(x)=1-0+\dfrac{4}{x^2-4}\\f'(x)=\dfrac{x^2-4}{x^2-4} +\dfrac{4}{x^2-4}\\f'(x) = \dfrac{x^2-4+4}{x^2-4}\\f'(x) = \dfrac{x^2}{x^2-4}[/tex]
Bonne fin de journée.
