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Mr Fish envisage de créer un parc a poisson .
il dispose d'un filet de 400m qu'il veut fixer à la jetée pour délimiter trois cotés du parc rectangulaire .
Comment doit-on fixer son filet pour que le parc ait une aire maximale ?
Precisez la superficie du parc.
Soit x la longueur du rectangle et y la largeur. Le périmètre du rectangle est alors égal à 2x+2y
Or, On ne peut délimiter que 3 côtés avec 400 mètres, on suppose alors que le côté non pris en compte est y ( on choisit comme on veut, ça n'a pas d'importance ici .. )
Donc 2x+y=400
D'où y=400-2x
L'aire du rectangle est égal à xy donc à x(400-2x).
On introduit la fonction f(x)=x(400-2x) continue et dérivable sur [0;200].
Et f'(x)=-4x+200
f'(x) est positive sur [0;50] et négative sur [50;200].
f est alors croissante sur [0;50] et décroissante sur [50;200]
f admet donc un maximum sur [0;200] et max(f(x)) = f(50) = 50(400-100) = 50*300
Donc f(50) = 15 000 m²
Au final, l'aire maximale du parc est de 15 000 m².
FIN
