Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape :
1)
a)
On donc :
2x+2y=60
2(x+y)=60
x+y=30
Ce qui limite x à la valeur 30 et dans ce cas , y vaudra zéro.
Donc x ∈ [0;30]
b)
Le périmètre du cercle de base=y.
Mais :
Le périmètre du cercle de base=2πR
Donc :
2πR=y
R=y/2π
Mais :
x+y=30 donc : y=30-x qui donne :
R=(30-x)/2π
c)
Volume=aire base * hauteur
V=πR²*x
V=π[(30-x)/2π]²*x
V=π*x*(30-x)²/4π²
On simplifie par une fois π en haut et en bas :
V=x(30-x)²/4π
V(x)=(1/4π)*x*(30-x)²
d)
On trouve V max pour x=10 qui donne :
V(10)=318.31 cm³
2)
a)
On développe d'une part :
x(30-x)²-4000=x(900-60x+x²)-4000=900x-60x²+x³-4000
D'autre part :
(x-40)(x-10)²=(x-40)(x²-20x+100)=....je te laisse finir et trouver ce qui est au-dessus.
b)
V(10)=(1/4π)*10*(30-10)²
V(10)=(1/4π)*4000 car 10*20²=4000
V(x)-V(10)=(1/4π)*x*(30-x)²-(1/4π)*4000
V(x)-V(10)=(1/4π)[x(30-x)²-4000)
qui donne d'après 2) a) :
V(x)-V(10)=(1/4π)(x-40)(x-10)²
V(x) - V(10) est donc du signe de (x-40)(x-10)².
(x-10)²≥ 0 car c'est un carré et vaut zéro pour x=10.
x-40 > 0 pour x > 4.
x--------------->0..............................10.......................30
(x-40)--------->............-...............................-.................
(x-10)²-------->............+..................0............+................
V(x)-V(10)----->..........-..................0............-................
Donc :
V(x)-V(10) ≤ 0 et vaut zéro pour x=10.
Donc :
V(x) ≤ V(10) qui prouve que V(x) passe par un max pour x=10 , max qui vaut environ 318.31 cm³.
Hauteur=10 cm
Largeur y=30-10=20 cm
