Bonjour
1)
U₀ = 1
U₁ = 0,5 * 1 + 3 = 3,5
U₂ = 0,5 * 3,5 + 3 = 4,75
U₃ = 0,5 * 4,75 + 3 = 5,375
En sup :
U₄ = 0,5 * 5,375 + 3 = 5.6875
U₅ = 0,5 * 5.6875 + 3 = 5.84375
. . .
Elle semble tendre vers 6
2) Graphique
La suite u est définie par:
- La relation de récurrence Un+1 = 0,5 * Un + 3
- Le terme initiale u0 = 1
Etape 1 : On trace la représentation de la fonction f(x) =0,5.x + 3
Etape 2 : On trace la droite d'équation y = x
Etape 3 : On place le point de coordonnées (u0 ; 0), à savoir (1 ; 0)
Etape 4 : On obtient f(u0), autrement dit u1, en cherchant l'image de u0 par f
Superbes explications :
https://www.youtube.com/watch?v=s5OR6-gbbmw
3) La suite semble être croissante.
4) D'après les premiers termes la suite semble être croissante.
Démontrons par récurrence que Uₙ ≤ Uₙ₊₁
Initialisation vérifions que P(0) est vrai.
U₀ = 1 et U₁ = 0,5 * 1 + 3 = 3,5 donc Uₙ ≤ Uₙ₊₁ et P(0) est vrai
Hérédité : Soit un entier n>=0 , supposons P(n) vrai et montrons que P(n+1) est vrai :
Uₙ ≤ Uₙ₊₁
Pour passer de Uₙ à Uₙ₊₁ il faut multiplier de chaque coté par 0.5, le sens de l'égalité ne change pas car on multiplie par un nombre positif :
0.5Uₙ ≤ 0.5Uₙ₊₁
Maintenant on rajoute + 3 de chaque coté. Le sens de l'égalité ne change pas :
0.5Uₙ + 3 ≤ 0.5Uₙ₊₁ + 3
ce qui donne :
Uₙ₊₁ ≤ Uₙ₊₂ donc P(n+1) est vrai.
Conclusion P(0) est vrai et P(n) et héréditaire, donc P(n) est vrai pour tout entier
n>= 0.
Donc Uₙ est croissante.
5)
Il affiche 17. Testé en VBA
Le programme tourne tant que U < 5,999
A la fin du programme U = 5,99992370605469, il s'arrête car U est > 5.999
6) si U₀ =7 les résultats précédent ne restent pas vrais.
car si U =7 il quitte immédiatement la boucle conditionne while U < 5.999
donc le résultat affiché sera N=1 et U=7
Bon courage
