Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape :
1)
Ton demi-cercle a pour rayon 1. C'est donc un demi-cercle trigonométrique.
Tu te reportes à ton chapitre sur la trigo dans ton livre et tu verras que par définition :
mesure OH=cos α et donc AH=AO+OH=1 + cos α
mesure MH=sin α
Le triangle AHM est rectangle en H donc :
Aire AHM=A(α)=(1/2) x MH x AH qui donne :
A(α)=(1/2)sin (α)(1+cos(α))
2)
A(α) est de la forme : (1/2) x u x v avec :
u=sin (α) donc u '=cos (α)
v=1+cos (α) donc v '=-sin (α)
Ce qui donne :
A '(α)=(1/2)[cos(α)(1+cos (α))-sin²(α)]
A '(α)=(1/2)[cos (α)+cos²(α)-sin²(α)]
Mais d'après le cours : sin²(α)=1-cos²(α) soit -sin²α=cos²α-1
A '(α)=(1/2)[cos (α)+cos²(α)+cos²(α)-1]
A '(α)=cos² α + (1/2)cos α -1/2
3)
a)
Soit :
P(X)=X²+(1/2)X-1/2
Pour factoriser , il faut les racines de P(X).
Δ=(1/2)²-4(1)(-1/2)=1/4+2=9/4
√(9/4)=3/2
X1=(-1/2-3/2)/2=-1 et X2=(-1/2+3/2)/2=1/2
Donc :
P(X)=(X-(-1))(X-1/2)
P(X)=(X+1)(X-1/2)
b)
En posant cos α=X :
A '(x)=(cos α + 1)(cos α - 1/2)
4)
Sur ]0;π/2] : (cos α +1) est toujours positif.
Donc A '(α) est du signe de : (cos α -1/2)
cos α -1/2 > 0 donne :
cos α > 1/2
cos α > cos π/3
α < π/3 car le cosinus est décroissant sur ]0;π/2].
Donc :
Sur ]0;π/3] : A ' (α ) > 0
Sur [π/3;π/2] : A '(α) < 0
5)
Variation :
α----------->0...........................π/3...................π/2
A ' (α)---->...........+..................0............-.............
A (α)------>............C.............A(π/3)......D...........
C=flèche qui monte et D=flèche qui descend.
6)
L'aire de AHM est donc max pour α=angle BOM=π/3 et vaut :
A(π/3)=(1/2)sin(π/3)(1+cos (π/3))=(1/2)((√3)/2)(1+1/2)
A(π/3)=(3√3)/8 unités d'aire.
