Réponse :
Explications étape par étape :
Bonjour
1) α²=(1+√5)²/4=(1+2√5+5)/4=(6+2√5)/4=(3+√5)/2
α+1=(1+√5)/2+1=(1+2+√5)/2=(3+√5)/2
Donc α²=α+1
Tu fais de même avec β il n'y a qu'un signe qui change.
2a) Fo=1/√5*(α°-β°)=1/√5*(1-1)=0
F1=1/√5*(α-β)=1/√5*(1+√5-1+√5)/2=1/√5*(2√5)/2=√5/√5=1
F2=1/√5*(α²-β²)=1/√5*(3+√5-3+√5)/2=1/√5*(2√5)/2=√5/√5=1
2b) α et β sont solution de E donc :
α²=α+1 et β²=β+1
D'ou α^(n+2)=α^n*α+α^n=α^(n+1)+α^n (1)
De même en multipliant β²=β+1 par β^n : β^(n+2)=β^(n+1)+β^n (2)
Tu soustrais les deux expressions membres à membres :
(1)-(2) : α^(n+2)-β^(n+2)=α^(n+1)-β^(n+1)+α^n-β^n
2c) En divisant l'expression obtenue ci-dessus par √5 tu tombes immédiatement sur :
Fn+2=Fn+1+Fn
3) Tu trouveras facilement sur internet des informations sur cette suite : elle a été créé par Fibonacci pour décrire la croissance d'une population de lapins. Dans la nature, tu la trouves au sein de nombreuses formes biologiques ; la ramification des arbres, la disposition des feuilles sur une tige, la floraison d’un artichaut, la disposition des pommes de pin, ou encore la coquille d’un escargot. Les marguerites ont également, pour la plupart, un nombre de pétales correspondant à la suite de Fibonacci.