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Bonjour à tous pourriez-vous m'aider s'il vous plaît merci d'avance.
1) Soit f(x)= x^2-14x+15+20lnx
Montrer f'(x)= 2(x-2)(x-5)/x
2) Soit f(x)= x+ 50 + 900/x
Montrer f'(x)= (x-30)(x+30)/x^2

Sagot :

bjr

1) Soit f(x)= x²-14x+15+20lnx                            x > 0

        f'(x) = 2x - 14 + 20/x                       dérivée de f(x)

         f'(x) = 2x²/x - 14x/x + 20/x                 dénominateur commun : x

         f'(x) = (2x² - 14x + 20)/x

        f'(x) = 2(x² - 7x + 10)/x       (1)

Montrer f'(x)= 2(x-2)(x-5)/x   (2)

on développe (x - 2)(x - 5)

(x - 2)(x - 5) = x² - 5x - 2x + 10

                  = x² - 7x + 10

on a bien (1) = (2)

2) Soit f(x)= x+ 50 + 900/x

            f'(x) = 1 - 900/x²

           f'(x) = (x² - 900) / x²

           f'(x) = (x² - 30²) / x²

           f'(x) = (x - 30)(x + 30) / x²

Bonjour,

[tex]f(x) =x^{2} -14x+15+20ln(x)[/tex]

[tex]f'(x) = 2x - 14 + \frac{20}{x}[/tex]

[tex]f'(x) = \frac{2x^{2} -14x+20}{x}[/tex]

⇒ Maintenant on part de ce que l'on veut démontrer pour retomber sur le même résultat et ainsi démontrer que f'(x)= 2(x-2)(x-5)/x :

[tex]f'(x) = \frac{2(x-2)(x - 5)}{x}[/tex]

[tex]f'(x) = \frac{2(x^{2} - 5x-2x+10)}{x}[/tex]

[tex]f'(x) = \frac{2(x^{2} - 7x + 10)}{x}[/tex]

[tex]f'(x) = \frac{2x^{2} -14x+20}{x}[/tex]

⇒ Tu peux conclure

Remarque : cette méthode bien plus rapide que de résoudre un polynôme du second degré et ainsi de factoriser l'expression

2) Je fais le début pour te montrer la méthode à suivre (la même que précédemment et tu termines)

[tex]f(x) = x + 50 + \frac{900}{x}[/tex]

[tex]f'(x) =1+ \frac{-900}{x^{2} }[/tex]   ← cf formule du cours

[tex]f'(x) = \frac{x^{2} }{x^{2} } + \frac{-900}{x^{2} }[/tex]

[tex]f'(x) = \frac{x^{2} -900}{x^{2} }[/tex]

[tex]f'(x) = \frac{(x-30)(x+30)}{x^{2} }[/tex]

[tex]f'(x) = \frac{x^{2} -900}{x^{2} }[/tex]

⇒ CQFD

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