Réponse :
1. la fonction est décroissante sur [0 ; + ∞ [
2.a. [tex]\frac{N_0}{2} = N_0*e^{-0.121*T}[/tex]
2.b. T= 5.728 milliers d'années
3.a. [tex]N(2T) = N_0*e^{-0.121*2T} = N_0*e^{-0.121*2*5.728} = N_0*0.250=\frac{N_0}{4}[/tex]
3. b. 11.456 milliers d'années
Explications étape par étape :
1. Pour étudier les variations de la fonction il faut justifier que la fonction est continue et dérivable sur l'intervalle :
N est continue et dérivable sur [0 ; + ∞ [car la fonction exponentielle est continue et dérivable sur [0 ; + ∞ [.
Donc ∀t ∈ [0 ; +∞[,
[tex]N'(t) = -0.121*N_{0}*e^{-0.121*t}\\[/tex] (car la dérivée de [tex]e^{a*t} = a*e^{a*t}[/tex])
∀t ∈ [0 ; +∞[,
[tex]e^{-0.121*t} > 0[/tex] et [tex]N_0 \geq 0[/tex] donc [tex]N'(t) \leq 0[/tex] (par produit)
Donc la fonction est décroissante sur [0 ; + ∞ [ et
- [tex]\lim_{t \to \infty} N(t) = 0[/tex] car [tex]\lim_{t \to \infty} e^{-0.121*t} = 0[/tex]
2. a. A t=T, on a [tex]N(T) = \frac{N_0}{2}[/tex] (d'après la définition du temps de demi-vie)
Alors, [tex]\frac{N_0}{2} = N_0*e^{-0.121*T}[/tex]
d'où, [tex]\frac{1}{2} = e^{-0.121*T}[/tex]
b. Ici, on utilise la fonction logarithme pour linéariser :
[tex]ln(\frac{1}{2}) = ln(e^{-0.121*T} )[/tex]
[tex]ln(\frac{1}{2}) = -0.121*T[/tex]
[tex]T = \frac{ln(\frac{1}{2})}{-0.121}[/tex]
T= 5.728 milliers d'années
3. a. Ici t=2T, donc on calcule N(t) pour t = 2T,
[tex]N(2T) = N_0*e^{-0.121*2T} = N_0*e^{-0.121*2*5.728} = N_0*0.250=\frac{N_0}{4}[/tex]
b. Ici on cherche le temps t au bout duquel [tex]N(t) = \frac{N_0}{4}[/tex], et c'est 2T d'après la question précédente, donc :
t = 2×5.728 = 11.456 milliers d'années
