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Bonjour,

Ce cours vous est proposé par l’équipe de Brainly/Nosdevoirs.

Matière : Mathématiques
Niveau : Terminale
Chapitre : ANALYSE | Résoudre une équation différentielle de type y’ = ay

Sagot :

Bonjour :)

Tout d’abords, Il s’agira dans ce cours de démontrer la solution générale d’une équation différentielle de type y’ = ay. Pour terminer, deux exemples seront proposés afin de vous familiariser avec des études de cas que vous pouvez rencontrer lors d’un exercice ou d’un devoir noté.

  • Qu’est-ce qu’une équation différentielle ?

Une équation différentielle est une équation dans laquelle l’inconnue n’est plus simplement une variable mais une fonction.

Exemple :

Nous souhaitons connaître la fonction y telle que : y' = x

On sait d’après cette équation différentielle que la dérivée de y vaut x. Cherchons alors, la forme générale de la solution qui répond à cette équation.

[tex]y(x) = \frac{1}{2}x^{2} + C\\\\y'(x)= 2* \frac{1}{2}x = x[/tex]

Par conséquent, l’ensemble des solutions est de la forme : [tex]y(x)= \frac{1}{2}x^{2} + C[/tex]

avec C une constante réelle quelconque. (Rappel : la dérivée d'une constante est nulle)

  • Solution générale d'une équation différentielle de type y' = ay

On définit une fonction y dérivable sur [tex]\mathbb R\\[/tex] telle que y' = ay et a [tex]\in \mathbb R\\[/tex]

[tex]y'=ay\\\\\frac{y'}{y} =a\\\\\int\limits\frac{y'}{y} \, = \int\limits {a} \,\\\\ln(y)=ax\\\\y(x)=Ke^{ax}[/tex]

L'ensemble des solutions est donné par la forme générale : [tex]y(x) = Ke^{ax}[/tex] avec K constante réelle et a [tex]\in \mathbb R\\[/tex].

  • Cas de figures

Exemple 1 : on définit y telle que y’ = 4y

L’équation est de la forme y’=ay avec a = 4. Nous appliquons la formule vue au cours.

L’ensemble des solutions de y’ = 4y est de la forme :

[tex]y(x)=Ke^{4x}[/tex]

Exemple 2 : on définit y telle que y’ = -2y et y(0) = 7

L’équation est de la forme y’=ay avec a = -2. Nous appliquons la formule vue au cours.

L’ensemble des solutions de y’ = -2y est de la forme :

[tex]y(x) = Ke^{-2x}[/tex]

Ayant une condition particulière supplémentaire dans l’énoncé (y(0) = 7), nous pouvons en déduire une solution exacte de y.

[tex]y(0)= Ke^{-2*0}=7\\\\Ke^{0}=7\\\\K=7\\[/tex]

La solution exacte est donc : [tex]y(x) = 7e^{-2x}[/tex]

En espérant que ce cours t'aura aidé, je te souhaite une excellente continuation. :))

Vous pouvez retrouver d'autres cours sur notre blog.

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