Bonjour
1)
u0=1
v0=2
u1 = ( 3*1 + 2*2) /5
u1 = ( 3 + 4) /5
u1 = 7/5 = 1,4
v1 = ( 2*1 + 3*2 ) / 5
v1 = ( 2 +6 ) / 5
v1 = 8/5 = 1,6
u2 = ( 3*(7/5) + 2*(8/5)) /5
u2 = ( 21/5 + 16/5) /5
u2 = 37/25 = 1,48
v2 = ( 2*(7/5) + 3*(8/5) ) / 5
v2 = ( 14/5 + 24/5) / 5
v2 = 38/25= 1,52
2)
dₙ₊₁ = vₙ₊₁ - uₙ₊₁
dₙ₊₁ = (2uₙ + 3vₙ) /5 - (3uₙ + 2vₙ) /5
dₙ₊₁ = [ (2uₙ + 3vₙ) - (3uₙ + 2vₙ) ] /5
dₙ₊₁ = [ 2uₙ + 3vₙ - 3uₙ - 2vₙ ] /5
dₙ₊₁ = [ - uₙ + vₙ ] /5 (1*)
Cf. pièce jointe pour vérification
3)
Une suite (dₙ) est géométrique si et seulement si pour tout entier naturel n,
dₙ₊₁ = a×dₙ où a est un nombre indépendant de n
Pour démontrer qu’un suite est géométrique, on peut donc montrer qu’elle respecte bien la relation dₙ₊₁ / dₙ = a. C'est a est constant alors (dₙ) est géométrique de raison a. Application :
dₙ₊₁ / dₙ = vₙ₊₁ - uₙ₊₁ / vₙ - uₙ
dₙ₊₁ / dₙ = [ - uₙ + vₙ ] /5 / [ vₙ - uₙ ]
dₙ₊₁ / dₙ = [ vₙ - uₙ ] /5 / [ vₙ - uₙ ]
dₙ₊₁ / dₙ = [ vₙ - uₙ ] /5 * 1 / [ vₙ - uₙ ]
dₙ₊₁ / dₙ = 1 / 5
Donc la suite dₙ est une suite géométrique.
b) dₙ₊₁ * 5 = dₙ mais d'après (1*)
([ - uₙ + vₙ ] / 5) * 5 = dₙ
[ vₙ - uₙ ] = dₙ
3)
Sₙ = uₙ + vₙ
a)
S0 = S1 = S2 = 3 On conjecture que la suite (Sn) est constante (en 3)
b)
A l'aide d'un raisonnement par récurrence, démontrons que :
Sn+1 = Sn ou que DF(n) = Sn+1 - Sn = 0
Montrons que DF(n) est vraie pour tout n supérieur ou égal à 0.
Initialisation : Soit S1 - S0 = 3 - 3 = 0 (ou alors S1 = S0)
DF(0) est vraie.
Hérédité : Soit n supérieur ou égal à 0.
Supposons que DF(n) est vraie pour tout n, c'est-à-dire que Sn+1 - Sn = 0
Montrons que DF(n+1) est vraie pour tout n, c'est-à-dire que Sn+2 -Sn+1 = 0
Par hypothèse de récurrence, on a Sn+1 - Sn = 0.
Sₙ = uₙ + vₙ
Sₙ₊₁ = uₙ₊₁ + vₙ₊₁
Sₙ₊₂ = uₙ₊₂ + vₙ₊₂
Sₙ₊₂ - Sₙ₊₁
= uₙ₊₂ + vₙ₊₂ - (uₙ₊₁ + vₙ₊₁)
= (3uₙ₊₁ + 2vₙ₊₁ + 2uₙ₊₁ + 3vₙ₊₁)/5 - 5uₙ₊₁ - 5vₙ₊₁
= (3uₙ₊₁ + 2vₙ₊₁ + 2uₙ₊₁ + 3vₙ₊₁ - 5uₙ₊₁ - 5vₙ₊₁)/5
= (5uₙ₊₁ + 5vₙ₊₁ - 5uₙ₊₁ - 5vₙ₊₁)/5
= 0/5
= 0 (car Sₙ₊₁ - Sₙ = 0 d'après l'hypothèse de récurrence)
DF(n) est donc vraie.
Conclusion : Pour tout n supérieur ou égal à 0, Sₙ₊₁- Sₙ = 0
C'est-à-dire que la suite (Sₙ) est constante.
4) ... sorry
Bon courage
