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Sagot :
Réponse :
U0 = 2
Un+1 = Un/(Un + 1) pour tout entier naturel n
1) on pose Vn = 1/Un
Démontrer que (Vn) est une suite arithmétique
Vn+1 - Vn = 1/Un+1) - 1/Un
= 1/Un/(Un + 1)] - 1/Un
= [(Un + 1)/Un] - 1/Un
= (Un + 1 - 1)/Un
= Un/Un = 1
Donc la suite (Vn) est une suite arithmétique Vn+1 = (Vn) + 1
de premier terme V0 = 1/U0 = 1/2 et de raison r = 1
2) en déduire alors Un en fonction de n
Vn = 1/2 + n
Vn = 1/Un ⇔ Un = 1/Vn ⇔ Un = 1/(1/2 + n) = 2/(1+2n)
3) pour quelle valeur de n
Un = 2/41
2/(1+ 2 n) = 2/41 ⇔ 1 + 2 n = 41 ⇔ 2 n = 40 ⇔ n = 40/2 = 20
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