Réponse :
Re bonjour
Explications étape par étape :
1)
On développe :
f(x)=-(x²-6x+9)+4=...je te laisse finir.
2)
On a donc :
f(x)=-(x-3)²+4
Soit a < b ≤ 3
f(a)-f(b)=-a²+6a-5-(-b²+6b-5)
f(a)-f(b)=b²-a²-6(b-a)
f(a)-f(b)=(b+a)(b-a)-6(b-a)
f(a)-f(b)=(b-a)(b+a-6)
Comme a < b , alors le facteur (b-a) est positif.
Comme:
a < 3
b ≤ 3
b+a < 6
Donc le facteur ( b+a-6) est négatif.
Le produit (b-a)(b+a-6) est donc négatif. Donc :
f(a)-f(b) < 0 qui donne :
f(a) < f(b)
On est parti de a < b ≤ 3 pour arriver à f(a) < f(b) , ce qui prouve que f(x) est croissante sur ]∞;3].
3)
f(x)=-(x-3)²+4
f(x)-4=-(x-3)²
(x-3)² est toujours positif car c'est un carré ( ou nul pour x=3).
Donc :
-(x-3)² est toujours négatif ( ou nul si x=3).
Donc :
f(x)-4 ≤ 0 et vaut zéro pour x=3.
Donc :
f(x) ≤ 4 et vaut 4 pour x=3.
Ce qui prouve que f(x) passe par un max qui vaut 4 atteint pour x=3.
