Réponse :
pour chacune des fonctions calculer la dérivée et en déduire les variations
1) f1(x) = (x + 2)e⁻ˣ
f1 '(x) = u'v + v'u = e⁻ˣ - e⁻ˣ(x +2) = e⁻ˣ(1 - x - 2) = e⁻ˣ(- x - 1)
u = x + 2 ⇒ u ' = 1
v = e⁻ˣ ⇒ - e⁻ˣ
f1 '(x) = e⁻ˣ(- x - 1) or e⁻ˣ > 0
donc le signe de f1 '(x) dépend du signe de - x - 1
f1 '(x) = 0 ⇔ - x - 1 = 0 ⇔ x = - 1
x - ∞ - 1 + ∞
f1 '(x) + 0 -
f1 '(x) ≥ 0 sur l'intervalle ]- ∞ ; - 1] ⇒ f1(x) est croissante sur ]-∞ ; - 1]
f1 '(x) ≤ 0 // // [- 1 ; + ∞[ ⇒ f1(x) est décroissante sur [- 1 ; + ∞[
2) f2(x) = x²e⁻ˣ
f2 '(x) = 2 xe⁻ˣ - x²e⁻ˣ = e⁻ˣ(2 x - x²) or e⁻ˣ > 0
le signe de f2 '(x) dépend du signe de 2 x - x²
f2 '(x) = 0 ⇔ 2 x - x² = 0 ⇔ x(2 - x) = 0 ⇔ x = 0 ou x = 2
x - ∞ 0 2 + ∞
f2 '(x) - 0 + 0 -
f2 '(x) ≥ 0 sur [0 ; 2] ⇒ f2(x) est croissante sur [0 ; 2]
f2 '(x) ≤ 0 sur ]- ∞ ; 0]U[2 ; + ∞[ ⇒ f2(x) est décroissante
sur ]- ∞ ; 0]U[2 ; + ∞[
Explications étape par étape :
