Réponse :
f(x) = (1.5 x² - 4 x + 1)/(2 x + 1)
1) déterminer l'ensemble de définition D de la fonction f
Df = R \ {- 1/2}
2) a) montrer que f '(x) = (3 x² + 3 x - 6)/(2 x + 1)²
f '(x) = (u/v) ' = (u'v - v'u)/v²
u = 1.5 x² - 4 x + 1 ⇒ u ' = 3 x - 4
v = 2 x + 1 ⇒ v ' = 2
d'où f '(x) = [(3 x - 4)(2 x + 1) - 2(1.5 x² - 4 x + 1)]/(2 x + 1)²
= (6 x² - 5 x - 4 - 3 x² + 8 x - 2)/(2 x + 1)²
f '(x) = (3 x² + 3 x - 6)/(2 x + 1)²
b) étudier le signe de f '(x) sur Df puis dresser le tableau de variation de f sur Df
f '(x) = (3 x² + 3 x - 6)/(2 x + 1)² or (2 x + 1)² > 0
donc le signe de f '(x) dépend du signe de 3 x² + 3 x - 6
⇔ 3(x² + x - 2) = 0 ⇔ x² + x - 2 = 0
Δ = 1 + 8 = 9 ⇒ √9 = 3
x1 = - 1+3)/2 = 1
x2 = - 1 - 3)/2 = - 2
x - ∞ - 2 - 1/2 1 + ∞
f'(x) + 0 - || - 0 +
tableau de variation de f sur Df
x - ∞ - 2 - 1/2 1 + ∞
f(x) - ∞→→→→→→→→→ - 5 →→→→→→→→→- ∞ ||+ ∞→→→→→ 2.2→→→→→→→ + ∞
croissante décroissante décroissante croissante
c) l'équation de la tangente T à la courbe Cf au point d'abscisse - 1
y = f(-1) + f '(-1)(x + 1)
f(-1) = - 6.5
f '(-1) = - 6
y = - 6.5 - 6(x + 1)
= - 6.5 - 6 x - 6
y = - 6 x - 12.5
Explications étape par étape :