Réponse :
bonjour
Explications étape par étape
AB côté du triangle ATB inscrit dans le cercle (C) de diamètre [AB] .ce triangle est donc rectangle en T.
angle BAT ∈ au triangle rectangle ATB rectangle en B⇒on connait BT=9=côté opposé à BAT et AB =15=hypoténuse de ce triangle
la trigonométrie dit: sin(BAT)=opposé/hypoténuse=BT/AB=9/15
sin(BAT)=0,6⇒BAT=37°
angles ATB et KTF⇒angles opposés par le sommet⇒ ils ont le même sommet et les côtés de l’un sont dans le prolongement de côtés de l’autre
donc ATB=KTF=90°
on cherche la mesure de l'angle KFT
⇒le triangle KTF est rectangle en T
on connait KT=3cm on va chercher FT=AF-AT
et AT∈triangle ATB rectangle en T
donc Pythagore dit :AB²=AT²+BT²⇒⇒⇒AT²=AB²-BT²=15²-9²=144
⇒AT=√144=12cm
⇒FT=AF-AT=16-12⇒FT=4cm
KTF rectangle en T avec FT =4cm=côté adjacent àKFT et KT=3=côté opposé à KFT
la trigonométrie dit: tan(KFT)=opposé/adjacent=KT/FT=3/4
tan(KTF)=0,75 ⇒KFT=37°
les triangles ATB et KTF ont deux couples d’angles égaux deux à deux. ⇒ angles ATB=KTF=90° et BAT=KFT=37° donc d’après la règle des 180°, le dernier couple d’angles le sera également.
⇒Les triangles ATB et KTF sont semblables.
on en déduit que si deux triangles sont semblables alors les longueurs des côtés de l’un sont proportionnelles aux longueurs des côtés de l’autre.
vérification par le calcul
FT/AT=4/12=1/3
KT/BT=3/9=1/3
KF/AB=KF/15
KF=hypoténuse triangle KTF
⇒KF²=FT²+KT²⇒4²+3²=16+9=25
⇒KF=√25
⇒KF=5
⇒KF/AB=5/15=1/3
⇒les longueurs de ATB sont bien proportionnelles aux longueurs de KTF
les triangles ATB et KFT sont en configuration de Thalès,⇒ les points A;F;T et K;T;B,sont alignés et dans cet ordre .les droites (AF) et (KB) sont sécantes en T et FT/AT=KT/BT=KF/AB alors les droites (AB) et (KF) sont parallèles.
voilà
bonne soirée
