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80 soit f et g deux fonctions définies sur R par f(x) = x3
et g(x) = -3x2 + 9x + 1.
On cherche à démontrer que, pour tout réel x >2,f(x) >g(x).
Considérons la fonction h définie sur R par h(x) = f(x) – g(x).
1. Déterminer, pour tout réel x, h'(x). Puis étudier le signe
de h'(x) sur R.
2. En déduire que la fonction h est croissante sur [2; +inf[.
3. Calculer h(2). Puis conclure.

Sagot :

Bernie76

Réponse :

Bonjour

Explications étape par étape

Si cet exo était pour ce matin, j'arrive un peu tard !!

1)

h(x)=f(x)-g(x)

h(x)=x³-(-3x²+9x+1)

h(x)=x³+3x²-9x-1

h '(x)=3x²+6x-9

Donc h '(x) est du signe de : 3(x²+2x-3) qui est < 0 entre les racines.

Δ=b²-4ac=2²-4(1)(-3)=16

√16=4

x1=(-2-4)/2=-3 et x2=(-2+4)/2=1

Sur ]-∞;-3[ U ]1;+∞[ , f '(x) >  0

Sur ]-3;1[ f '(x) < 0.

2)

Variation de h(x) :

x-------->-∞..................-3...............1...............+∞

h '(x)---->..........+............0.......-.....0....+........

h(x)----->.........C.............?.......D.....?.......C.......

D=flèche qui descend et C=flèche qui monte.

D'après ce tableau  , h(x) est croissante sur [1;+∞[ donc est également croissante sur [2;+∞[.

3)

h(2)=3*2³+3*2²-9*2-1= 17

Comme h(x) est croissante sur [2;+∞[ , alors :

x >  2 <==> h(x) > h(2) soit :

Pour x > 2 , h(x) > 17.

17 est positif donc :

Pour x > 2 , h(x) > 0 donc :

Pour x > 2 , f(x)-g(x) > 0 donc f(x) > g(x).

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