singhgurnavdeep
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Soit f une fonction définie sur l'intervalle ]2;+ l'infini[ par : 

f(x)=x-1-(2/x-2)

On note C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthornormé d'unité 1cm.

 

QUESTIONS:

 

1) Soit f' la fonction dérivée de f.Déterminer f'(x)

 

2) Montrer que, pour tout x de 'intervalle ]0;+ l'infini[ ,f'(x)>0

 

3) En déduire le tableau de variation de la fonction f

 

4) Déterminer lim f(x) quand x tend vers 2 .Quelle asymptote DELTA en déduit-on pour la courbe C

 

5) Calculer f(x)-(x-1)   PUIS Déterminer lim (f(x)-(x-1)) quand x tend vers + l'infini

 

6) Que peut-on en déduire pour la courbe C et la droite D d'équation y=x-1 ?

Sagot :

Bonsoir

f' vaut 1+2/(x-2)^2 qui est donc bien un nombre >0 (un carré est tjs >=0)

 

f est donc croissante de f(0)=2 à +inf quand tend vers 2- puis de -inf (quand x tend vers 2+) à +inf qui est sa limite en +inf.

 

DELTA : x=2

 

f(x)-(x-1) c'est _2/(x-2) donc cela tend vers 0- y=x-1 est asymptote à C et C est en dessous de la droite

 

 

lechim31270

Bonjour,

 

1)

f(x)=x-1-(2/(x-2))

 

f'(x)=1-(-2/(x-2)²=

 

[tex]f'(x)=1-\frac{-2}{(x-2)^2}=\frac{(x-2)^2+2}{(x-2)^2}=\frac{x^2-4x+2+2}{(x-2)^2}=\frac{x^2-4x+4}{(x-2)^2}[/tex]

 

2)

 

(x-2)² >0

 

on cherche le signe de x²-4x+4 de la forme ax²+bx+c

 

delta =16-16=0

 

une seule racine x1=-b/2a=4/2=2

 

Comme a est >0, la concavité est orientée vers le haut, et comme  x1 est le sommet de la parabole, f'(x) est toujours >0.

3)

 

I= ]2;+ l'infini [ f'(x)  >0 f(x) est croissante.

 

4) Déterminer lim f(x) quand x tend vers 2 .Quelle asymptote DELTA en déduit-on pour la courbe C

 

lim -2/(x-2)=-inf

x-->2

 

donc f(x)= 1-inf=-inf

x-->2

 

f(x) à pour assymptote x=2

 

5) Calculer f(x)-(x-1)   puis Déterminer lim (f(x)-(x-1)) quand x tend vers + l'infini

 

 f(x)-(x-1)=x-1-(2/(x-2))-(x-1)=2/(x-2)

 

donc

lim 2/(x-2)= 0

x-->+inf

 

lim (f(x)-(x-1))=0

x-->+inf

 

6)

 

Comme leur différence tend vers 0, on peut dire que vers +infini C et la droite D se confondent donc y=x-1 est assymptote à C.

 

J'espère que tu as compris

 

A+

 

 

 

 

 

 

 

 

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