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Bjr,
1. prenons p/q une fraction irréductible et supposons que ce soit une racine de f, cela veut dire que
[tex]f(\dfrac{p}{q})=0\\\\2\dfrac{p^3}{q^3}+5\dfrac{p^2}{q^2}+5\dfrac{p}{q}+3=0\\\\2p^3+q(5p^2+5pq+3q^2)=0\\\\2p^3=-q(5p^2+5pq+3q^2)[/tex]
cela veut dire que q divise 2p*p*p et comme p/q est irréductible q ne divise pas p donc q divise 2
de même
[tex]f(\dfrac{p}{q})=0\\\\2\dfrac{p^3}{q^3}+5\dfrac{p^2}{q^2}+5\dfrac{p}{q}+3=0\\\\2p^3+5p^2q+5pq^2+3q^3=0\\\\3q^3=-p(2p^2+5pq+5q^2)[/tex]
cela veut dire que p divise 2q*q*q et comme p/q est irréductible p ne divise pas q donc p divise 3
2.
sur Z,
les diviseurs de 2 sont 1, 2, -1, -2
les diviseurs de 3 sont 1, 3, -1, -3
du coup, cela donne les racines rationnelles potentielles suivantes
1, -1. 1/2, -1/2, 3, -3, 3/2, -3/2
on calcule et on trouve que -3/2 est une racine, c'est la seule racine rationnelle de f, contrairement à ce que demande l 'énoncé
x f(x)
1 15
-1 1
0.5 7
-0.5 1.5
3 117
-3 -21
1.5 28.5
-1.5 0
Merci
