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Bonjour pouvez vous m’aider sur cet exercice de mon dm que je n’arrive pas à faire ( je suis en spé maths en première )

Soit f la fonction définie sur R
par:
f(x) = (xcarré+ 4x - 4)/(x² - 2x + 2)
et C sa courbe représentative.
1. Montrer que pour tout réel x:
-6x² + 12x
f'(x) = -6x² + 12x /
(x2 – 2x + 2)carré
2. Montrer que la tangente Tà C au point d'abs-
cisse 2 a pour équation réduite y = 4.
3. a. Montrer que pour tout réel x:
f(x) - 4 = -3(x - 2)²/ x² - 2x + 2
b. En déduire la position de la courbe C par rapport
à sa tangente T.
c. Vérifier le résultat en obtenant C et T à la
calculatrice.

Sagot :

Réponse :

Bonjour

Explications étape par étape

f(x)=(x²+4x-4)/(x²-2x+2)  Df =R car x²-2x+2 est toujours >0

limites

si x tend vers -oo f(x) tend vers +1 et si x tend vers +oo , f(x) tend vers 1

la droite d'équation y=1 est une asymptote horizontale.

1) dérivée f(x) est un quotient  u/v donc f'(x)=(u'v-v'u)/v²  la réponse est donnée dans l'énoncé. f'(x)=(-6x²+12x)/(x²-2x+2)²

f'(x)=6x(-x+2)/(x²-2x+2)²

f'(x)=0 pour x=0 et x=2

Au point d'abscisse x=2, f'(x)=0 par conséquent la tangente  est horizontale et son équation est y=f(2)=4

3) dressons le tableau de signes de f'(x) et de variation de f(x)

x  -oo                         0                                   2                               +oo

f'(x)    ..............-..............0............+........................0........-..........................

f(x)+1 .........décroi........-2 ...........croi...................4.......décroi..................+1

avec le tableau on a la réponse à la question : la courbe représentative de f(x)est en dessous de la tangente y=4 sauf au point de contact (2,4)

Et en plus le tableau  permet de comparer avec le tracé sur la calculette.

       

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