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Bonjour , j’ai un DNS dont j’ai fais tous mes exercices , mais je n’arrive pas à faire la dernière question , s’il vous plaît une personne pourrait-elle/il m’aider ça serais vraiment très gentil ! La question : L’écriture 50! (qui se lit “factorielle 50”) désigne le produit de tous les nombres entiers de 1 à 50 inclus : 50! = 1 × 2 × 3 × 4 × ...... × 49 × 50
Combien de zéros consécutifs trouverait-on à la fin de ce (très grand) nombre si on effectuait les calculs ?
Vous expliquerez de manière détaillée votre raisonnement.

Sagot :

bjr

exemple avec 10!

1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10 = 10!

On pense (sans l'écrire) à la décomposition du 1er membre en produit de facteurs premiers :

un 0 à la fin de 10! provient du produit d'un facteur 2 par un facteur  5

1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x (2 x 5) ; le nombre de 0 à la fin de 10! dépend du nombre de fois que l'on peut associer un facteur 2 avec un facteur 5

Comme il y a beaucoup plus de facteurs 2 que de facteurs 5, il suffit de compter le nombre de facteurs 5

Il y en a 2.

10! se termine par deux zéros

cas de 50!

50! = 1 × 2 × 3 × 4 × ...... × 49 × 50

il y a (au moins) un facteur 5 dans

5 ; 10 ; 15 ; 20 ; 25 ; 30 ; 35 ; 40 ; 45 ; 50    

soit 10 facteurs 5

il y a un second facteur 5 dans 25 et 50

soit 2 facteurs 5 supplémentaires

au total 12 facteurs 5

50! se termine par 12 zéros