Réponse :
Explications étape par étape
Bonsoir, exercice original, qui mobilise l'ensemble de tes connaissances.
En premier lieu, tu te doutes qu'il faudra déterminer une expression de P.
Tout trinôme du 2nd degré se factorise sous la forme : f(x) = a*(x-x1)(x-x2), avec x1 et x2 racines du trinôme (là où la parabole coupe l'axe des abscisses).
Visuellement, il est évident que x1 = -0,2 et x2 = 0,2.
Par conséquent : f(x) = a*(x+0,2)(x-0,2) = a*(x² - 0,04) (identité remarquable).
Ensuite, cette parabole admet un sommet S(0 ; -1/4), on déduit que f(0) = -1/4. Ce qui permet d'obtenir la valeur de a :
f(0) = -1/4 <==> a*(-0,04) = -1/4 <==> a = (-1/4) / (-0,04) = 100/16 = 25/4 = 6,25.
En conclusion : f(x) = 6,25*(x² - 0,04) = 6,25*x² - (1/4)
Dans un 2nd temps, soit M(x ; y) le point correspondant au graphique. Alors l'aire u rectangle bleu vaut : A(x) = x*y = x*(-f(x)) = -6,25 x^3 + (1/4) x.
Attention, on inverse le signe, car autrement, on obtiendrait une aire négative, détail à ne pas omettre.
L'idée étant de maximiser cette quantité, pour cela on commence par dériver :
A'(x) = -18,75 x² + (1/4) = -(75/4) x² + (1/4)
Afin de vérifier l'existence d'un maximum, on étudie le signe de A'(x). Comme le coefficient devant x² est strictement négatif, A'(x) est négatif à l'extérieur de ses racines, et positif entre elles.
Ses racines valent :
x1 = - Rac[ (1/4) / (75/4)] = -1 / (5*Rac(3)) et x2 = 1 / (5*Rac(3)).
Conclusion : A'(x) < 0 sur ]-0,5 ; x1[ U ]x2 ; 0,5[, A'(x) = 0 si x = x1 ou x2, et A'(x) > 0 sur ]x1 ; x2[. Puisque l'on étudie l'expression entre 0 et 0,5, on peut restreindre les intervalles, et conclure que :
A est donc strictement croissante sur [0 ; x2[, et strictement décroissante sur ]x2 ; 0.5[.
Ceci nous permet de déduire l'existence d'un maximum local, atteint en x = x2 = 1 / (5*Rac(3)).
La valeur maximale de l'aire sera : Max (A(x)) = A(x2) = -25 / (300*Rac(75)) + 1 / (4*Rac(75)) = 50 / (300*Rac(75)) = 1 / (30*Rac(3)).
L'aire est donc maximale, lorsque M a pour coordonnées : M(1 / (5*Rac(3)) ; 1 / (30*Rac(3)) )
