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Bjr,
Tout d'abord, on peut remarquer que
[tex](a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=a^3+b^3+3ab(a+b)[/tex]
donc
[tex]a^3+b^3-6ab=(a+b)^3-3ab(a+b)-6ab=(a+b)^3-3ab(a+b+2)=-11[/tex]
Si a+b+2=0 cela donne -8=-11 c'est impossible donc
[tex]a+b+2 \neq 0[/tex]
Bon, j'aimerais bien pouvoir trouver que en fait
[tex]a+b+2<0[/tex]
Essayons de metter (a+b+2) en facteur dans le premier terme, remarquons
[tex](a+b+2-2)^3=(a+b+2)^3-6(a+b+2)^2+12(a+b+2)-8[/tex]
Donc
[tex]8+(a+b+2-2)^3=(a+b+2)((a+b+2)^2-6(a+b+2)+12)[/tex]
cela donne alors
[tex]8+(a+b)^3-3ab(a+b+2)\\\\=(a+b+2)((a+b+2)^2-6(a+b+2)+12)-3ab(a+b+2)\\\\=8-11\\\\=-3[/tex]
C'est parti pour les calculs
[tex](a+b+2)^2-6(a+b+2)+12-3ab\\\\=a^2+b^2-ab-2a-2b+4\\\\=\dfrac{2a^2+2b^2-2ab-4a-4b+8}{2}\\\\=\dfrac{a^2+b^2-2ab+a^2-4a+4+b^2-4b+4}{2}\\\\=\dfrac{(a-b)^2+(a-2)^2+(b-2)^2}{2}[/tex]
Donc on a
[tex]\dfrac{(a-b)^2+(a-2)^2+(b-2)^2}{2}(a+b+2)=-3[/tex]
A gauche c'est une somme de carrés c'est toujours positif, le produit est négatif donc a+b+2<0 !!
donc a+b <-2 et alors (a=b=2 n'est pas possible donc on peut diviser)
[tex]a+b=-2-\dfrac{6}{(a-b)^2+(a-2)^2+(b-2)^2}[/tex]
et on veut montrer que -7/3=-2-1/3<a+b donc cela revient a montrer que
[tex]\dfrac{6}{(a-b)^2+(a-2)^2+(b-2)^2} <1/3\\ \\\iff (a-b)^2+(a-2)^2+(b-2)^2 > 18[/tex]
Adoptons un point de vue géométrique pour éviter à nouveau des calculs
[tex](x-2)^2+(y-2)^2=18[/tex]
(voir le dessin en pièce jointe)
est l'équation d'un cercle de centre (2,2) et de rayon [tex]\sqrt{18}[/tex]
la tangente de ce cercle en (-1,-1) est y=-2-x, car il suffit de prendre une droite perpendiculaire à y=x et passant par (-1,-1).
Mais alors comme a+b<-2, les points (a,b) solutions de l'équation du départ sont de l'autre côté de la tangente, dans le demi plan en bleu foncé sur le dessin
Ainsi
[tex](a-b)^2+(a-2)^2+(b-2)^2 \geq (a-2)^2+(b-2)^2 > 18[/tex]
On a égalité stricte car
le seul point d'intersection entre la tangente est le cercle est le point (-1,-1) et si a=b=-1 n 'est pas solution car -1-1-12=-14 est différent de -11.
En conclusion
[tex]\boxed{ \dfrac{-7}{3}<a+b<-2}[/tex]
Merci
