Bonsoir,
A(-2 ;3) ; B(4 ; 1) ; C(3 ; -2)
AB(6 ; -2) ; AC(5 ; -5) ; BC(-1 ; -3)
a) On a :
AB² = 36 + 4 = 40
AC² = 25 + 25=50
BC² = 1 + 9 = 10
D'où AC² = AB² + BC²
ABC est donc rectangle en B d'après la réciproque du th. de Pythagore.
b) I est le milieu de [AC] donc :
xI = (xA + xC)/2 = (-2+3)/2 = 1/2 et yI = (yA+yC)/2 = (3-2)/2 = 1/2
I(1/2 ; 1/2)
c) vu que le cercle est de centre I et qu'il passe par, sont rayon r vérifie :
r = IA = AC/2
r = √50 / 2 = 5√2 / 2
d) C appartient au cercle C car IC = IA = r
IB² = (4 - 1/2)² + (1 - 1/2)² = 49/4 + 1/4 = 50/4
D'où IB = 5√2 / 2 = r
B appartient donc à son tour au cercle C.
====
Fin de l'exercice
====
N.B. :
Dans un triangle rectangle, le milieu de l'hypoténuse est le centre du cercle circonscrit (soit IA=IB=IC)
On peut le démontrer en considérant le point D symétrique de B par rapport à I.
I est à la foi le milieu de [AC] et de [BD].
ABCD est donc un parallélogramme (diagonales se coupent en leur milieu)
De plus l'angle ABC est droit. Il s'agit donc d'un rectangle.
Or, les diagonales d'un rectangle sont de même longueur, soit IA=IB=IC=ID
