Bjr,
J'imagine que tu n'as pas encore vu les séries sinon c'est immédiat.
Regardons ce que ça donne à la main
[tex]5^n[/tex] c'est 5 * 5 * ... * 5 n fois
n!=n(n-1)(n-2)...1 il y a n termes
[tex]\dfrac{5^n}{n!}=\dfrac{5}{n} \times \dfrac{5}{n-1} \cdots \dfrac{5}{1}[/tex]
donc on a un produit où les premiers termes sont > 1 et ensuite on voit que ça va devenir bien petit, coupons le produit comme ci dessous par exemple
[tex]\dfrac{5^n}{n!}=\dfrac{5^6}{6!}\times \dfrac{5^{n-6}}{n(n-1)\cdots 7}[/tex]
Nous avons n-6 termes où chaque terme est supérieur à 7 donc leur inverse inférieur à 1/7 donc
[tex]\dfrac{5^n}{n!}=\dfrac{5^6}{6!}\times \dfrac{5^{n-6}}{n(n-1)\cdots 7} \leq \dfrac{5^6}{6!}\times \dfrac{5^{n-6}}{7^{n-6}}=\dfrac{5^6}{6!}\times (\dfrac{5}{7})^{n-6}\rightarrow 0[/tex]
car 5/7 < 1
donc la limite est 0 et pour info, c'est le cas de
[tex]\dfrac{x^n}{n!}[/tex]
quel que soit la valeur de x.
Ce que l'on peut retenir par "la factorielle l'emporte sur la puissance"
Merci
