Bjr,
1.a. ben, faisons les calculs, en mettant sur le même dénominateur
[tex]u_{n+1}-u_n=\dfrac{1}{(n+1)(n+2)}-\dfrac{1}{n(n+1)}\\\\=\dfrac{n-(n+2)}{n(n+1)(n+2)}\\\\=\dfrac{n-n-2}{n(n+1)(n+2)}\\\\=-\dfrac{2}{n(n+1)(n+2)}[/tex]
b. n est un entier donc positif, n+1 est positif, n+2 est positif donc le produit n(n+1)(n+2) est positif, ainsi l'expression trouvée à la question précédente est négative, donc la suite [tex](u_n)[/tex] est décroissante.
c. en calculant les premiers termes, ça a tout l'air de tendre vers 0
2. a. pour n entier non nul
[tex]\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}=\dfrac{n+1-n}{n(n+1)}=\dfrac{1}{n(n+1)}=u_n[/tex]
b.
Utilisons le résultat du a.
[tex]S_p=\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\cdots+\dfrac{1}{p}-\dfrac{1}{p+1}\\\\=1-\dfrac{1}{p+1}[/tex]
les termes se télescopent, ils s'éliminent deux à deux et il ne reste que le premier et le dernier.
c. La somme à calculer est
[tex]S_{99}=1-\dfrac{1}{100}=0,99[/tex]
d. A mon avis, cette suite tend vers 1.
Merci
