Réponse :
Explications étape par étape
Bonsoir
Exercice 1.
Soit P(x) = -2x^3 - x^2 + 5x – 2
1) Calcule P(1) puis donne la Factorisation de P(x)
P(1) = -2 * 1^3 - 1^2 + 5 * 1 - 2
P(1) = -2 - 1 + 5 - 2
P(1) = 0
P(x) = (x - 1)(ax^2 + bx + c)
P(x) = ax^3 + bx^2 + cx - ax^2 - bx - c
P(x) = ax^3 + (b - a)x^2 + (c - b)x - c
a = -2
b - a = -1 => b = -1 - 2 = -3
c - b = 5 => c = 5 - 3 = 2
P(x) = (x - 1)(-2x^2 - 3x + 2)
2) Résoudre dans IR l'équation P(x) = 0.
(x - 1)(-2x^2 - 3x + 2) = 0
x - 1 = 0 ou -2x^2 - 3x + 2 = 0
x = 1 ou -2(x^2 + 3x/2 - 1) = 0
x = 1 ou -2(x^2 + 2 * 3x/4 + (3/4)^2 - (3/4)^2 - 1) = 0
x = 1 ou -2[(x + 3/4)^2 - 9/16 - 16/16] = 0
x = 1 ou -2[(x + 3/4)^2 - 25/16] = 0
x = 1 ou -2[(x + 3/4)^2 - (5/4)^2] = 0
x = 1 ou -2[(x + 3/4 - 5/4)(x + 3/4 + 5/4)] = 0
x = 1 ou -2[(x - 2/4)(x + 8/4)] = 0
x = 1 ou -2[(x -1/2)(x + 2)] = 0
x = 1 ou x - 1/2 = 0 ou x + 2 = 0
x = 1 ou x = 1/2 ou x = -2
3) Etudier le signe de P(x)
x....................|-inf.........-2........1/2.......1........+inf
x-1.................|.......(-)..........(-)..........(-)..o....(+).......
-2x^2-3x+1..|.......(-).....o..(+)....o...(-).........(-).......
P(x)...............|.......(+).....o...(-)...o....(+).o....(-).......
4) En déduire la solution de l'inéquation P(x) < 0.
[tex]x \in ]-2;1/2[ U ]1 ; +\infty[[/tex]
