Salut,
Soit x∈R, on a ∀x∈R f(x)=2x³-3x
1) a.
On a ∀x∈R, f(x)=2x³-3x ⇒ f(x)=x(2x²-3)
Ainsi, f(x)=0 ⇔ x(2x²-3)=0
Ainsi, x=0 ou 2x²-3=0
Resolvons ∀x∈R, 2x²-3=0:
on a x= -[tex]\sqrt{\frac{3}{2} }[/tex] ou x=[tex]\sqrt{\frac{3}{2} }[/tex]
Donc, f(x)=0 ⇔x∈{-[tex]\sqrt{\frac{3}{2} }[/tex] ; 0; [tex]\sqrt{\frac{3}{2} }[/tex]}
b. f est dérivable sur R comme somme de fonctions composées dérivables sur R donc, ∀x∈R, f'(x)=6x²-3
Or, 6x²-3≥0 ⇔ x∈]-∞;-[tex]\frac{\sqrt{2} }{2}[/tex]]∪[[tex]\frac{\sqrt{2} }{2}[/tex];+∞[
Donc f est croissante sur ]-∞;-[tex]\frac{\sqrt{2} }{2}[/tex]]∪[[tex]\frac{\sqrt{2} }{2}[/tex];+∞[ est décroissante sur [-[tex]\frac{\sqrt{2} }{2}[/tex];[tex]\frac{\sqrt{2} }{2}[/tex]]
( je te laisse faire le tableau de variation)
2) Tu peux facilement lire sur la courbe que f(x)≥0⇔x∈[-[tex]\sqrt{\frac{3}{2} }[/tex];0]∪[[tex]\sqrt{\frac{3}{2} }[/tex]; +∞[
(juste, [tex]\sqrt{\frac{3}{2} }[/tex]≈1,22)
Sinon tu peux faire la preuve algebrique:
Soit x∈R, f(x)≥0 ⇔2x³-3x=0⇔x∈[-[tex]\sqrt{\frac{3}{2} }[/tex];0]∪[[tex]\sqrt{\frac{3}{2} }[/tex]; +∞[
