Bonjour,
Nous allons d'abord résoudre l'équation homogène qui a l'équation caractéristique suivante
[tex]x^2+1=0[/tex]
Nous avons deux solutions complexes i et -i.
L'ensemble des solutions de l'équation homogène forme un espace vectoriel de dimension 2 dont une base est
[tex](\cos, \sin)[/tex]
Les solutions de l 'équation homogène sont donc de la forme
[tex]a\cos+b\sin[/tex] avec a et b réels quelconques.
Maintenant nous cherchons une solution particulière de l'équation avec second membre.
Prenons p et q réels et
[tex]y(t)=p\cos(2t)+q\sin(2t)\\\\y'(t)=-2p\sin(2t)+2q\cos(2t)\\\\y''(t)=-4p\cos(2t)-4q\sin(2t)\\\\\\y''(t)+y(t)=-3pcos(2t)-3qsin(2t)=3cos(2t)[/tex]
Donc q=0 et p =-1, une solution particulière est [tex]y(t)=-cos(2t)[/tex]
De ce fait, l'ensemble des solutions de l'équation différentielle est l'ensemble des fonctions qui à t associe
[tex]\boxed{a\cos(t)+b\sin(t)-\cos(2t), a \ et \ b \ reels}[/tex]
Merci
