Participez aux discussions sur Zoofast.fr et obtenez des réponses pertinentes. Découvrez des solutions rapides et complètes à vos problèmes avec l'aide de notre communauté d'experts bien informés.
Sagot :
Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape
1)
On développe :
(x+1)²+4=x²+2x+1+4=x²+2x+5
(x+1)²+4 est toujours positif car somme de 2 nombres positifs ( ou nul pour (x+1) si x=-1).
Donc :
x²+2x+5 > 0
Donc :
Df=IR ( ensemble des réels).
2)
On a donc : f(0)=2/5.
On reporte f(0)=2/5 dans f(x)=2(x²+ax+b)/(x²+2x+5) :
2(0+0+b)/(0+0+5)=2/5
(2/5)b=2/5
b=(2/5)(5/2)
b=1
3)
Donc :
f(x)=2(x²+ax+1)/(x²+2x+5)
f(x) est de de la forme u/v avec :
u=2x²+2ax+2 donc u'=4x+2a
v=x²+2x+5 donc v '=2x+2
f '(x)=[(4x+2a)(x²+2x+5)-(2x²+2ax+2)(2x+2)] / (x²+2x+5)²
f '(x)=(4x³+8x²+20x+2ax²+4ax+10a-4x³-4x²-4ax²-4ax-4x-4) / (x²+2x+5)²
Tu vérifies ce que je viens de faire , tu réduis et tu trouves ce qui est donné.
4)
On a donc :
f '(x)=[(4-2a)x²+16x+10a-4] / (x²+2x+5)²
Tangente horizontale en x=-3 implique f '(-3)=0
Ce qui donne :
[(4-2a)(-3)²+16(-3)+10a-4] / [(-3)²+2(-3)+5]²=0
[9(4-2a)-48+10a-4] / (9-6+5)²=0
Pour qu'une fraction soit nulle , il faut et il suffit que son numérateur soit nul.
Ce qui donne :
[9(4-2a)-48+10a-4]=0
Je te laisse développer et trouver :
-8a-16=0
Et à la fin :
a=-2
5)
On a donc :
f '(x)=[(4-2(-2))x²+16x+10(-2)-4] / (x²+2x+5)²
Tu arranges ça et tu trouves :
f '(x)=(8x²+16x-24)/(x²+2x+5)
Maintenant , tu développes :
8(x+3)(x-1)=8(x²-x+3x-3)=...
Je te laisse finir et trouver ce qui est donné.
6)
f '(x) est donc du signe du produit : (x+3)(x-1)
x+3 > 0 pour x > -3
x-1 > 0 pour x > 1.
Tableau de variation de f(x) :
x---------->-∞.....................-3.......................1..........................+∞
(x+3)----->.........-................0........+.......................+................
(x-1)------->........-..............................-...........0.........+...............
f '(x)------>.........+...............0..........-..............0........+..............
f(x)---------->.......C.............f(-3)........D............f(1)......C.........
C=flèche qui monte et D=flèche qui descend.
On a donc :
f(x)=2(x²-2x+1)/(x²+2x+5)
Tu dois trouver ;
f(-3)=4 et f(1)=0 comme on le voit sur le graphique.
Votre participation nous est précieuse. Continuez à partager des informations et des solutions. Cette communauté se développe grâce aux contributions incroyables de membres comme vous. Pour des réponses claires et rapides, choisissez Zoofast.fr. Merci et revenez souvent pour des mises à jour.