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1) En développant [tex](cos x + i sin x)^{5}[/tex], montrer que :
cos5x = 16 [tex]cos^{5}[/tex]x – 20[tex]cos^{3}[/tex]x + 5 cos x
2) En déduire que cos [tex]\frac{\pi}{3} [/tex] est solution de l’équation (E) :
16[tex]x^{5}[/tex] – 20[tex]x^{3}[/tex] + 5X + 1 = 0
3) Vérifier que -1 est solution de (E) et déterminer les réels a, b et c tels que :
16[tex]x^{5}[/tex] – 20[tex]x^{3}[/tex] + 5X + 1 = (X+1)(a[tex]X^{2}[/tex] + bX + c)²
4) Résoudre l’équation (E). Quelle est la solution qui correspond à cos [tex]\frac{\pi}{3}[/tex]?
cos(5x) est la partie réelle de :
et (a+ib)^5=a^5+5a^4(ib)+10a^3(ib)²+10a²(ib)^3+5a(ib)^4+(ib)^5
donc Re(a+ib)^5)=a^5-10a^3b+5ab^4
cos(pi/3) vaut 1/2 donc il n'est pas racine de (E) : c'est de cos(pi/5) que l'on parle. En effet cos(5pi/5)=cos(pi)=-1
division : 16 – 20 + 5X + 1 = (X+1)(a + bX + c)² donne a=4 b=-2 c=-1 par identification
(E) a pour solutions -1 (cos(pi)) (1+V5)/4 et (1-V5)/4 qui est <0
l'une est donc cos(pi/5) et l'autre cos(3pi/5)