Bonjour,
1.
G est dérivable sur IR comme composée de fonctions qui le sont et
[tex]\forall x \in \mathbb{R}\\\\G'(x)=\dfrac{d}{dx}(x^2) \times \dfrac1{2} e^{x^2}=xe^{x^2}=g(x)[/tex]
2.
[tex]\displaystyle I_1=\int_0^1 xe^{x^2} dx=\int_0^1 g(x) dx=[G(x)]_0^1\\\\=G(1)-G(0)\\\\\boxed{I_1=\dfrac{e-1}{2}}[/tex]
3.
[tex]\displaystyle I_{n+2}=\int_0^1 x^{n+1}2e^{x^2} dx\\\\=\int_0^1 x^{n-1} \cdot xe^{x^2} dx\\\\=\int_0^1 x^{n+1} d(G(x))\\\\=[x^{n+1}G(x)]_0^1-\int_0^1 (n+1)x^nG(x)dx\\\\=\dfrac{e}{2}-\dfrac{(n+1)}{2} I_n[/tex]
4.
[tex]I_3=\dfrac{e}{2}-\dfrac{1+1}{2}I_1\\\\=\dfrac{e}{2}-\dfrac{e-1}{2}\\\\=\dfrac1{2}\\\\I_5=\dfrac{e}{2}-\dfrac{3+1}{2}I_3\\\\=\dfrac{e}{2}-1[/tex]
5.
[tex]\forall x \in [0;1]\\\\x\geq 0 \\\\x^n\geq 0\\\\e^{x^2} > 0\\[/tex]
Donc l 'intégrale sur [0;1] est positive et donc
[tex]I_n\geq 0[/tex]
6.
[tex]\displaystyle I_{n+1}-I_n=\int_0^1 (x^{n+1}-x^n) e^{x^2} dx\\\\=\int_0^1 (x-1)x^n e^{x^2} dx \leq 0\\\\\text{ car }0 \leq x\leq 1 \iff -1\leq x-1\leq 0[/tex]
la suite (In) est décroissante.
Merci
