Bonjour,
Dans cet exo, lorsque nous utilisons les intégrales sans borne cela signifie que nous recherchons un ensemble de fonctions, l'ensemble des primitives en fait.
[tex]\displaystyle \int \ \dfrac{dx}{(ax+b)^6} =\{\text{fonctions f sur IR telles que pour tout x de IR }f'(x)=\dfrac1{(ax+b)^6}} \}[/tex]
Tu sais que la dérivée de la fonction qui à x associe [tex]x^n[/tex]
est la fonction qui à x associe [tex]nx^{n-1}[/tex]
De même, écris de manière abusive, [tex](x^{-n})'=-nx^{-n-1}[/tex]
Donc un bon candidat ici est
[tex]f(x)=\dfrac1{(ax+b)^5}[/tex]
et quand je dérive j'obtiens
[tex]f'(x)=\dfrac{-5a}{(ax+b)^6}[/tex]
De même nous savons que deux primitives différent par une constante réelle donc l'ensemble recherchée ici est, si a différent de 0
[tex]\displaystyle \int \ \dfrac{dx}{(ax+b)^6} =\{\text{fonctions f sur IR prive de -b/a }\\\\\text{telles que pour tout x de IR prive de -b/a, C reel quelconque }\\ \\f(x)=\dfrac{-1}{5a(ax+b)^5}}+C \}[/tex]
Nous pouvons vérifier que c'est juste en dérivant ces fonctions et nous retombons sur le résultat.
Le cas où a = 0 et b différent de 0 l'ensemble des solutions sont les fonctions affines sur IR de la forme
[tex]\dfrac{x}{b^6}+C[/tex].
Si a = b= 0 ce n'est pas défini.
Pour la deuxième intégrale, si je pose, pour a différent de 0,
[tex]f(x)=exp(ax+b)\\\\f'(x)=a \times exp(ax+b)[/tex]
Donc les primitives sont de la forme
[tex]F(x)=\dfrac1{a} \times exp(ax+b) + C[/tex]
avec C un réel quelconque.
Si a = 0 et b différent de 0 l'ensemble des solutions sont les fonctions affines sur IR de la forme
[tex]exp(b) x+C[/tex].
Si a = b= 0 c'est le cas trivial où l'ensemble des solutions sont les fonctions affines sur IR de la forme
[tex]x + C[/tex].
Pour le dernier cas, pour a différent de 0, ce sont les fonctions de la forme
[tex]f(x)=\dfrac{-cos(ax+b)}{a}+C[/tex]
Pour a = 0 et b différent de 0 l'ensemble des solutions sont les fonctions affines sur IR de la forme
[tex]sin(b) x+C[/tex].
Si a = b= 0 c'est le cas trivial où l'ensemble des solutions sont les fonctions constantes sur IR.
Merci
