Réponse :
Un = 2ⁿ/7ⁿ⁺¹
a) conjecturer son sens de variation
U0 = 2⁰/7¹ = 1/7 ≈ 0.14
U1 = 2¹/7² = 2/49 ≈ 0.04
U2 = 2²/7³ = 4/343 ≈ 0.01
U3 = 2³/7⁴ = 8/2401 ≈ 0.003
en plaçant ces points dans le repère orthonormé
en abscisse : 1 u = 2 cm
en ordonnées 0.01 = 1 cm
on obtient une courbe décroissante sur N
pour tout n ∈ N on a, (Un) est décroissante sur N
b) démontrer que pour tout nombre n de N; Un+1/Un = 2/7
Un+1/Un = 2ⁿ⁺¹/7ⁿ⁺²/2ⁿ/7ⁿ⁺¹ = (2ⁿ x 2 x 7ⁿ⁺¹)/(7ⁿ⁺¹ x 7 x 2ⁿ) = 2/7
c) prouver alors la conjecture émise à la question a).
puisque la suite (Un) est à termes strictement positif donc on compare Un+1/Un par rapport à 1
or Un+1/Un = 2/7 < 1 donc la suite (Un) est décroissante sur N
par conséquent, pour tout entier naturel n, la suite (Un) est décroissante sur N
Explications étape par étape
