Réponse :
bonjour, un exercice qui se traite sans calculatrice si ce n'est pour calculer la valeur arrondie de "a"
Explications étape par étape
Je traite l'exercice selon l'énoncé du livre
1) On peut conjecturer que f(x)=0 a deux solutions b=-4/3 et a=4/3 (lecture graphique)
2) Il faut modifier f(x)
f(x)=(e^2x +1-4e^x)/(e^2x+1)
il reste à résoudre cette équation
a) Sachant que e^2x+1 est toujours >0 il faut que e^2x-4e^x+1=0
posons e^x=X
X²-4X+1=0 delta=12 ; rac.delta=2rac3
solutions X1=(4-2rac3)/2 =2-rac3 et X²=2+rac3
e^x=2-rac3 x=ln(2-rac3) c'est "b"
e^x=2+rac3 x=ln(2+rac3)=1,32 c'est "a" et 1,32=4/3 (environ)
b) pour démontrer que b=-a il faut démontrer que f(x) est paire donc que f(-x)=f(x)
f(-x)=[e^-2x-4e^-x+1]/(e^-2x +1] =(1/e^2x-4/e^x+1)/(1/e^2x+1)
On met au même dénominateur le dividende N et le diviseur D
N=(1-4e^x+e^2x)/e^2x
D=(1+e^2x)/e^2x
N/D=(e^2x-4e^x+1)/(e^2x+1)
On note que f(-x) =f(x) , la fonction est paire; la courbe est donc symétrique par rapport à l'axe des ordonnées et b=-a
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Ce que tu as écrit revient à une étude de f(x) sur R
2) limites: à partir de la forme modifiée de f(x)
si x tend vers - ou +oo f(x) tend vers e^2x/e^2x=1
Interprétation graphique: la droite d'équation y=1 est une asymptote horizontale.
2) dérivée on la détermine à partir de la forme donnée dans l'énoncé
f'(x)=-[4e^x(e^2x+1)-(2e^2x)(4e^x)]/(e^2x+1)²
f'(x)=-[4(e^x)(1-e^2x)]/(e^2x+1)²=4(e^x)(e^2x-1)/(e^2x+1)=4(e^x-1)(e^x+1)/(e^2x+1)²
car e^2x-1=(e^x-1)(e^x+1) identité remarquable.
Cette dérivée f'(x) est du signe de (e^x-1)
f'(x)=0 si x=0
Tableau de signes de vf'(x) et de variations de f(x)
x -oo 0 +oo
f'(x)........................-.......................0............................+................
f(x)+1(-).............décroi.................f(0)................croi....................+1(-)
on note que f(0)=-1
Sur l'intervalle ]0; +oo[ la fonction f(x) est continue et monotone , f(0)<0 et f(+oo)>0 par conséquent d'après le TVI il existe une et une seule valeur "a" telle que f(a)=0
L'encadrement est inutile car on a la valeur exacte par le calcul.
a=ln(2+rac3)
Le signe de f(x) on l'a par le tableau
f(x)>0 pour x appartenant à ]-oo;ln(2-rac3)[U]ln(2+rac3); +oo[
f(x)<0 si ln(2-rac3)<x< ln(2+rac3)
