Réponse:
la largeur de l'ensemble est 30+2x
la longueur de l'ensemble est 45+2x
l'aire est f(x) = (30+2x)(45+2x)
f(x) = 1350 + 60x + 90x + 4x²
f(x) = 4x² + 150x + 1350
f est définie sur [0;+∞[
2b)
f(x) = 1924 <=>
4x² + 150x + 1350 = 1924 <=>
4x² + 150x - 574 = 0. <=> (1)
∆=150²-4×4×(-574)
∆=31684
∆>0, l'équation (1) admet 2 solutions réelles.
X1 = (-150-√31684)/8 = - 41
X1 = (-150+√31684)/8 = 3,5
On rejette la solution négative, la largeur du cadre étant positive.
L'aire de l'ensemble est de 1924 cm² si la largeur du cadre est de 3,5 cm.
c) L'aire du cadre est donné par l'aire de l'ensemble auquel on retire l'aire de la gravure.
4x²+150x+1350 - 30×45 =
4x² + 150x
On souhaite :
4x² + 150x ≤ 850 <=>
4x² + 150x - 850 ≤ 0
∆=150²-4×4×(-850) = 36100
∆>0
X1 = -42,5
X2 = 5
Le polynôme 4x²+150x-850 est du signe de a=4 à l'extérieur de ses racines.
Ainsi 4x² + 150x - 850 ≤ 0 pour x [0; 5]
(On peut dresser le tableau de signe de l'expression 4x² + 150x - 850 sur [0;+∞[ )
Ainsi l'aire du cadre est inférieure à 850 cm² pour une largeur comprise entre 0 et 5 cm.
